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Soit $X$ un espace topologique connexe, soit $\mathcal{U}$ un recouvrement de $X$ par ouverts et soit $x_0 \in X$ un point de $X$. On dit que $x$ est $n$-éloigné de $x_0$ s’il existe $U_0, \dots, U_n \in \mathcal{U}$ tels que $x_0 \in U_0$, $U_{i-1} \cap U_i \neq \emptyset$, $i=1, \dots, n$ et $x\in U_n$. Prenez le temps de dessiner ce que veut dire $n$-éloigné. On définit l’ensemble $A\subset X$ par $$A = \{ \,x\in X \mid \exists n \in \Nn : \text{$x$ est $n$-éloigné de $x_0$}\,\} \ .$$ Démontrer que $A$ est ouvert et fermé dans $X$. En déduire que $A=X$.