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Soit \(X\) un espace topologique connexe, soit \(\mathcal{U}\) un recouvrement de \(X\) par ouverts et soit \(x_0 \in X\) un point de \(X\). On dit que \(x\) est \(n\)-éloigné de \(x_0\) s’il existe \(U_0, \dots, U_n \in \mathcal{U}\) tels que \(x_0 \in U_0\), \(U_{i-1} \cap U_i \neq \emptyset\), \(i=1, \dots, n\) et \(x\in U_n\). Prenez le temps de dessiner ce que veut dire \(n\)-éloigné. On définit l’ensemble \(A\subset X\) par \[A = \{ \,x\in X \mid \exists n \in \Nn : \text{$x$ est $n$-éloigné de $x_0$}\,\} \ .\] Démontrer que \(A\) est ouvert et fermé dans \(X\). En déduire que \(A=X\).