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Calculer les valeurs propores de $A$. L’endomorphisme $f$ est-il diagonalisable ?

Calculer $(A-I)^2$. En déduire $A^n$, en utilisant la formule du binôme de Newton.

Soient $P(X)=(X-1)^2$ et $Q \in \mathbb{R}[X]$. Exprimer le reste de la division euclidienne de $Q$ par $P$ en fonction de $Q(1)$ et $Q'(1)$, où $Q'$ est le polynôme dérivé de $Q$.
En remarquant que $P(A)=0$ (on dit alors que $P$ est un polynôme  annulateur de $A$) et en utilisant le résultat précédent avec un choix judicieux du polynôme  $Q$, retrouver $A^n$.

Montrer que l’image de $\mathbb{R}^{3}$ par l’endomorphisme  $(A-I)$ est un sous-espace de dimension $1$, dont on désignera une base par $\epsilon_2$. Déterminer ensuite un vecteur $\epsilon_3$ tel que $f(\epsilon_3)= \epsilon_2 + \epsilon_3$. Soit enfin $\epsilon_1$, un vecteur propre de $f$, non colinéaire à $\epsilon_2$. Ecrire $\tilde{A}$, la matrice de $f$ dans la base $\left \{\epsilon_1, \epsilon_2, \epsilon_3 \right \}$, ainsi que la matrice de passage $P$ et son inverse $P^{-1}$. Retrouver $A^n$.