Soit \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^{3}\), dont la matrice dans la base canonique \(\{e_1, e_2, e_3\}\) est \[A = \left ( \begin{array}{ccc} ~3 & 2 & -2 \\ -1 & 0 & ~1 \\ ~1 & 1 & ~0 \\ \end{array} \right )\]
Calculer les valeurs propores de \(A\). L’endomorphisme \(f\) est-il diagonalisable ?
Calculer \((A-I)^2\). En déduire \(A^n\), en utilisant la formule du binôme de Newton.
Soient \(P(X)=(X-1)^2\) et \(Q \in \mathbb{R}[X]\). Exprimer le reste de la
division euclidienne de \(Q\) par \(P\) en fonction de \(Q(1)\) et \(Q'(1)\), où
\(Q'\) est le polynôme dérivé de \(Q\).
En remarquant que \(P(A)=0\) (on dit alors que \(P\) est un polynôme annulateur
de \(A\)) et en utilisant le résultat précédent avec un choix judicieux du
polynôme \(Q\), retrouver \(A^n\).
Montrer que l’image de \(\mathbb{R}^{3}\) par l’endomorphisme \((A-I)\) est un sous-espace de dimension \(1\), dont on désignera une base par \(\epsilon_2\). Déterminer ensuite un vecteur \(\epsilon_3\) tel que \(f(\epsilon_3)= \epsilon_2 + \epsilon_3\). Soit enfin \(\epsilon_1\), un vecteur propre de \(f\), non colinéaire à \(\epsilon_2\). Ecrire \(\tilde{A}\), la matrice de \(f\) dans la base \(\left \{\epsilon_1, \epsilon_2, \epsilon_3 \right \}\), ainsi que la matrice de passage \(P\) et son inverse \(P^{-1}\). Retrouver \(A^n\).