1er cas. Supposons $\alpha=\beta= 0$ et donc $uv = vu$ . Puisque $E$ est un $\Cc$ -espace de dimension finie non nulle, $u$ admet au moins une valeur propre que l’on note $\lambda$ . Le sous-espace propre $E_\lambda$ correspondant n’est pas réduit à $\{0\}$ , est stable par $u$ et d’autre part stable par $v$ car $u$ et $E$ commutent. On note $\Cc$ et $v'$ les restrictions de $u$ et $v$ au sous-espace $E_\lambda$ . $u'$ et $v'$ sont des endomorphismes de $E_\lambda$ . De nouveau, $E_\lambda$ est un $\Cc$ -espace de dimension finie non nulle et donc $v'$ admet au moins un vecteur propre $x_0$ . Par construction, $x_0$ est un vecteur propre commun à $u$ et $v$ .

2ème cas. Supposons par exemple $\alpha\neq0$ .

$\begin{align*}\ensuremath uv - vu =\alpha u+\mu v&\Leftrightarrow(\alpha u+\beta v)\circ\frac{1}{\alpha}v -\frac{1}{\alpha}v\circ(\alpha u+\beta v) =\alpha u+\beta v\\ &\Leftrightarrow fg - gf = f\;\text{en posant}\;f =\alpha u+\beta v\;\text{et}\;g =\frac{1}{\alpha}v. \end{align*}$

On va chercher un vecteur propre commun à $u$ et $v$ dans le noyau de $f$ . Montrons tout d’abord que $\text{Ker}f$ n’est pas nul (on sait montrer que $f$ est en fait nilpotent (exercice [ex:rou9]) mais on peut montrer directement une propriété un peu moins forte).

Si $f$ est inversible, l’égalité $fg - gf = f$ fournit $(g+Id)\circ f = f\circ g$ et donc $g+Id = f\circ g\circ f^{-1}$ . Par suite, $g$ et $g+Id$ ont même polynôme caractéristique ou encore, si $\lambda$ est valeur propre de $g$ alors $\lambda+1$ est encore valeur propre de $g$ . Mais alors $\lambda+2$ , $\lambda+3$ ... sont aussi valeurs propres de $g$ et $g$ a une infinité de valeurs propres deux à deux distinctes. Ceci est exclu et donc $\text{Ker}f$ n’est pas réduit à $\{0\}$ .

Maintenant, si $x$ est un vecteur de $\text{Ker}f$ , on a $f(g(x))= g(f(x))+f(x) = 0$ et $g(x)$ est dans $\text{Ker}f$ . Donc $g$ laisse $\text{Ker}f$ stable et sa restriction à $\text{Ker}f$ est un endomorphisme de $\text{Ker}f$ qui admet au moins une valeur propre et donc au moins un vecteur propre. Ce vecteur est bien un vecteur propre commun à $f$ et $g$ .

Enfin si $x$ est vecteur propre commun à $f$ et $g$ alors $x$ est vecteur propre de $v =\frac{1}{\alpha}g$ et de $u=\frac{1}{\alpha}(f-\beta v)$ . $x$ est un vecteur propre commun à $u$ et $v$ .

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