1er cas. Supposons \(\alpha=\beta= 0\) et donc \(uv = vu\). Puisque \(E\) est un \(\Cc\)-espace de dimension finie non nulle, \(u\) admet au moins une valeur propre que l’on note \(\lambda\). Le sous-espace propre \(E_\lambda\) correspondant n’est pas réduit à \(\{0\}\), est stable par \(u\) et d’autre part stable par \(v\) car \(u\) et \(v\) commutent. On note \(u'\) et \(v'\) les restrictions de \(u\) et \(v\) au sous-espace \(E_\lambda\). \(u'\) et \(v'\) sont des endomorphismes de \(E_\lambda\). De nouveau, \(E_\lambda\) est un \(\Cc\)-espace de dimension finie non nulle et donc \(v'\) admet au moins un vecteur propre \(x_0\). Par construction, \(x_0\) est un vecteur propre commun à \(u\) et \(v\).

2ème cas. Supposons par exemple \(\alpha\neq0\).

\[\begin{align*}\ensuremath uv - vu =\alpha u+\mu v&\Leftrightarrow(\alpha u+\beta v)\circ\frac{1}{\alpha}v -\frac{1}{\alpha}v\circ(\alpha u+\beta v) =\alpha u+\beta v\\ &\Leftrightarrow fg - gf = f\;\text{en posant}\;f =\alpha u+\beta v\;\text{et}\;g =\frac{1}{\alpha}v. \end{align*}\]

On va chercher un vecteur propre commun à \(u\) et \(v\) dans le noyau de \(f\). Montrons tout d’abord que \(\text{Ker}f\) n’est pas nul (on sait montrer que \(f\) est en fait nilpotent (exercice [ex:rou9]) mais on peut montrer directement une propriété un peu moins forte).

Si \(f\) est inversible, l’égalité \(fg - gf = f\) fournit \((g+Id)\circ f = f\circ g\) et donc \(g+Id = f\circ g\circ f^{-1}\). Par suite, \(g\) et \(g+Id\) ont même polynôme caractéristique ou encore, si \(\lambda\) est valeur propre de \(g\) alors \(\lambda+1\) est encore valeur propre de \(g\). Mais alors \(\lambda+2\), \(\lambda+3\)... sont aussi valeurs propres de \(g\) et \(g\) a une infinité de valeurs propres deux à deux distinctes. Ceci est exclu et donc \(\text{Ker}f\) n’est pas réduit à \(\{0\}\).

Maintenant, si \(x\) est un vecteur de \(\text{Ker}f\), on a \(f(g(x))= g(f(x))+f(x) = 0\) et \(g(x)\) est dans \(\text{Ker}f\). Donc \(g\) laisse \(\text{Ker}f\) stable et sa restriction à \(\text{Ker}f\) est un endomorphisme de \(\text{Ker}f\) qui admet au moins une valeur propre et donc au moins un vecteur propre. Ce vecteur est bien un vecteur propre commun à \(f\) et \(g\).

Enfin si \(x\) est vecteur propre commun à \(f\) et \(g\) alors \(x\) est vecteur propre de \(v =\frac{1}{\alpha}g\) et de \(u=\frac{1}{\alpha}(f-\beta v)\). \(x\) est un vecteur propre commun à \(u\) et \(v\).

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