On a déjà $x=\frac{x+x}{2}\leq\frac{x+y}{2}=m\leq\frac{y+y}{2}=y$ et donc $x\leq m\leq y$ .

(on peut aussi écrire : $m-x=\frac{x+y}{2}-x=\frac{y-x}{2}\geq0$ ). On a ensuite $x=\sqrt{x.x}\leq\sqrt{xy}=g\leq\sqrt{y.y}=y$ et donc $x\leq g\leq y$ . $m-g=\frac{x+y}{2}-\sqrt{xy}=\frac{1}{2}((\sqrt{x})^2-2\sqrt{xy}+(\sqrt{y})^2)=\frac{1}{2}(\sqrt{y}-\sqrt{x})^2 \geq0$ et donc, $x\leq g\leq m\leq y$ . D’après 1), la moyenne arithmétique de $\frac{1}{x}$ et $\frac{1}{y}$ est comprise entre $\frac{1}{x}$ et $\frac{1}{y}$ , ce qui fournit $\frac{1}{y}\leq\frac{1}{h}\leq\frac{1}{x}$ , ou encore $x\leq h\leq y$ . D’après 3), la moyenne géométrique des deux réels $\frac{1}{x}$ et $\frac{1}{y}$ est inférieure ou égale à leur moyenne arithmétique. Ceci fournit $\sqrt{\frac{1}{x}.\frac{1}{y}}\leq\frac{1}{2}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})$ ou encore $\frac{1}{g}\leq\frac{1}{h}$ et finalement

$x\leq h\leq g\leq m\leq y$ où $\frac{1}{h}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)$ , $g=\sqrt{xy}$ et $m=\frac{x+y}{2}$ .

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