La fonction $g$ est définie en $x$ sauf si $\sin (x)=0$ ou $x=0$ . Son domaine de définition est donc $\Rr -\{ k\pi , k\in \Zz \} .$ On peut prolonger $g$ en une fonction continue en $0$ si et seulement si elle y admet une limite. Elle est dérivable en ce point si et seulement si elle y admet un développement limité à l’ordre $1$ . Toutefois, comme l’énoncé demande la position du graphe de $g$ par rapport à sa tangente en $0$ , nous allons calculer directement le développement limité à l’ordre $2$ de $g$ en $0$ .

Le développement limité en $0$ à l’ordre $5$ de $\arctan x = x -\dfrac{x^3}{3} +\dfrac{x^5}{5}+x^5\epsilon_1 (x).$

Or $\sin x =x-\dfrac{x^3}{3!} +\dfrac{x^5}{5!}+x^5\epsilon_2 (x).$ Donc $\sin ^3 x =x^3-\dfrac{x^5}{2} + \dfrac{13x^7}{120} +x^7\epsilon_3 (x)$ et $\dfrac{1}{\sin ^3 x}=\dfrac{1}{x^3} (1+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{9x^4}{40} +x^4\epsilon_4 (x)).$ On en déduit que :

$\dfrac{\arctan x}{(\sin x)^3}-\dfrac {1}{x^2}=\dfrac {1}{x^3}(x+\dfrac{x^3}{6}+\dfrac{31x^5}{120}+x^5\epsilon_5 (x)) -\dfrac {1}{x^2}=\dfrac{1}{6}+\dfrac{31x^2}{120}+x^2\epsilon_5 (x) .$

Ainsi on peut prolonger $g$ en une fonction continue en $0$ en posant $g(0)=\dfrac{1}{6}$ . La fonction obtenue est dérivable en $0$ et sa dérivée est nulle. La tangente en $0$ à son graphe est la droite d’équation $y=\dfrac{1}{6}$ . Enfin le graphe de $g$ est au-dessus de cette droite au voisinage de $0$ .

exo7 1262