La fonction \(g\) est définie en \(x\) sauf si \(\sin (x)=0\) ou \(x=0\). Son domaine de définition est donc \(\Rr -\{ k\pi , k\in \Zz \} .\) On peut prolonger \(g\) en une fonction continue en \(0\) si et seulement si elle y admet une limite. Elle est dérivable en ce point si et seulement si elle y admet un développement limité à l’ordre \(1\). Toutefois, comme l’énoncé demande la position du graphe de \(g\) par rapport à sa tangente en \(0\), nous allons calculer directement le développement limité à l’ordre \(2\) de \(g\) en \(0\).

Le développement limité en \(0\) à l’ordre \(5\) de \(\arctan x = x -\dfrac{x^3}{3} +\dfrac{x^5}{5}+x^5\epsilon_1 (x).\)

Or \(\sin x =x-\dfrac{x^3}{3!} +\dfrac{x^5}{5!}+x^5\epsilon_2 (x).\) Donc \(\sin ^3 x =x^3-\dfrac{x^5}{2} + \dfrac{13x^7}{120} +x^7\epsilon_3 (x)\) et \(\dfrac{1}{\sin ^3 x}=\dfrac{1}{x^3} (1+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{9x^4}{40} +x^4\epsilon_4 (x)).\) On en déduit que :

\(\dfrac{\arctan x}{(\sin x)^3}-\dfrac {1}{x^2}=\dfrac {1}{x^3}(x+\dfrac{x^3}{6}+\dfrac{31x^5}{120}+x^5\epsilon_5 (x)) -\dfrac {1}{x^2}=\dfrac{1}{6}+\dfrac{31x^2}{120}+x^2\epsilon_5 (x) .\)

Ainsi on peut prolonger \(g\) en une fonction continue en \(0\) en posant \(g(0)=\dfrac{1}{6}\). La fonction obtenue est dérivable en \(0\) et sa dérivée est nulle. La tangente en \(0\) à son graphe est la droite d’équation \(y=\dfrac{1}{6}\). Enfin le graphe de \(g\) est au-dessus de cette droite au voisinage de \(0\).

exo7 1262