exo7 1786

Soit $$f : \R^2 \to \R , \quad f(x,y) = \left\{ \begin{array}{cc} (x+y)\sin \frac{1}{x} \sin \frac{1}{y} & \mbox{ si }xy \neq 0 \\ 0 & \mbox{ si } xy = 0 \end{array} \right .$$ Démontrer que les deux limites itérées $$\lim_{x\to 0}\lim_{y\to 0}f(x,y) \quad \mbox{ et } \lim_{y\to 0}\lim_{x\to 0}f(x,y)$$ n’existent pas, et que $$\lim_{(x,y)\to (0,0)}f(x,y)$$ existe et est égale à $0$.