\(f\) est de classe \(C^1\) sur \(\Rr^2\) qui est un ouvert de \(\Rr^2\). Donc si \(f\) admet un extremum local en un point \((x_0,y_0)\) de \(\Rr^2\), \((x_0,y_0)\) est un point critique de \(f\). Or, pour \((x,y)\in\Rr^2\),

\(\left\{ \begin{array}{l} \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=0\\ \rule{0mm}{7mm}\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} 4x^3-4y=0\\ 4y^3-4x=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} y=x^3\\ x^9-x=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow(x,y)\in\{(0,0),(1,1),(-1,-1)\).

Les points critiques de \(f\) sont \((0,0)\), \((1,1)\) et \((-1,-1)\). Maintenant, pour \((x,y)\in\Rr^2\), \(f(-x,-y)=f(x,y)\). Ceci permet de restreindre l’étude aux deux points \((0,0)\) et \((1,1)\). Pour \(x\in\Rr\), \(f(x,0)=x^4>0\) sur \(\Rr^*\) et \(f(x,x)=-4x^2+2x^4=2x^2(-2+x^2)<0\) sur \(]-\sqrt{2},0[\cup]0,\sqrt{2}[\). Donc \(f\) change de signe dans tous voisinage de \((0,0)\) et puisque \(f(0,0)=0\), \(f\) n’admet pas d’extremum local en \((0,0)\). Pour \((h,k)\in\Rr^2\),

\[\begin{align*}\ensuremath f(1+h,1+k)-f(1,1)&=(1+h)^4+(1+k)^4-4(1+h)(1+k)+2=6h^2+6k^2-4hk+4h^3+4k^3+h^4+k^4\\ &\geqslant6h^2+6k^2-2(h^2+k^2)+4h^3+4k^3+h^4+k^4=4h^2+4h^3+h^4+4k^2+4k^3+k^4\\ &=h^2(2h^2+1)^2+k^2(2k^2+1)^2\geqslant0. \end{align*}\] \(f\) admet donc un minimum global en \((1,1)\) (et en \((-1,-1)\)) égal à \(-2\).

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