$f$ est de classe $C^1$ sur $\Rr^2$ qui est un ouvert de $\Rr^2$ . Donc si $f$ admet un extremum local en un point $(x_0,y_0)$ de $\Rr^2$ , $(x_0,y_0)$ est un point critique de $f$ . Or, pour $(x,y)\in\Rr^2$ ,

$\left\{ \begin{array}{l} \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=0\\ \rule{0mm}{7mm}\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} 4x^3-4y=0\\ 4y^3-4x=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} y=x^3\\ x^9-x=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow(x,y)\in\{(0,0),(1,1),(-1,-1)$ .

Les points critiques de $f$ sont $(0,0)$ , $(1,1)$ et $(-1,-1)$ . Maintenant, pour $(x,y)\in\Rr^2$ , $f(-x,-y)=f(x,y)$ . Ceci permet de restreindre l’étude aux deux points $(0,0)$ et $(1,1)$ . Pour $x\in\Rr$ , $f(x,0)=x^4>0$ sur $\Rr^*$ et $f(x,x)=-4x^2+2x^4=2x^2(-2+x^2)<0$ sur $]-\sqrt{2},0[\cup]0,\sqrt{2}[$ . Donc $f$ change de signe dans tous voisinage de $(0,0)$ et puisque $f(0,0)=0$ , $f$ n’admet pas d’extremum local en $(0,0)$ . Pour $(h,k)\in\Rr^2$ ,

$\begin{align*}\ensuremath f(1+h,1+k)-f(1,1)&=(1+h)^4+(1+k)^4-4(1+h)(1+k)+2=6h^2+6k^2-4hk+4h^3+4k^3+h^4+k^4\\ &\geqslant6h^2+6k^2-2(h^2+k^2)+4h^3+4k^3+h^4+k^4=4h^2+4h^3+h^4+4k^2+4k^3+k^4\\ &=h^2(2h^2+1)^2+k^2(2k^2+1)^2\geqslant0. \end{align*}$ $f$ admet donc un minimum global en $(1,1)$ (et en $(-1,-1)$ ) égal à $-2$ .

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