Parité de $F$ . Soit $x$ un réel du domaine de définition de $F$ . En posant $t=\theta+\pi$ , on obtient

$\begin{align*}\ensuremath F(x)&=\int_{-\pi}^{\pi}\ln(x^2-2x\cos\theta+1)\;d\theta=\int_{0}^{2\pi}\ln(x^2+2x\cos t+1)\;dt\\ &=\int_{-\pi}^{\pi}\ln(x^2+2x\cos t+1)\;dt\;(\text{par}\;2\pi\text{-périodicité})\\ &=\int_{-\pi}^{\pi}\ln((-x)^2-2(-x)\cos t+1)\;dt=F(-x). \end{align*}$

Ainsi, pour tout réel $x$ , $F(x)$ existe si et seulement si $F(-x)$ existe et de plus $F(x)=F(-x)$ .

$F$ est paire.

Définition de $F$ . Soit $x\in[0,+\infty[$ . Pour tout réel $\theta\in[-\pi,\pi]$ ,

$x^2-2x\cos\theta+1=(x-\cos\theta)^2+(\sin\theta)^2=\left|x-e^{i\theta}\right|^2\geqslant0$ .

De plus, $\left|x-e^{i\theta}\right|=0\Leftrightarrow e^{i\theta}=x\Leftrightarrow x=1\;\text{et}\;\theta=0$ . Par suite,

si $x\neq1$ , la fonction $\theta\mapsto x^2-2x\cos\theta+1$ est continue sur le segment $[0,\pi]$ et donc intégrable sur ce segment.

si $x=1$ , pour tout réel $\theta\in[-\pi,\pi]$ on a $x^2-2x\cos\theta+1=2-2\cos\theta=4\sin^2\frac{\theta}{2}$ . La fonction $\theta\mapsto\ln\left(4\sin^2\frac{\theta}{2}\right)$

est continue sur $[-\pi,0[\cup]0,\pi]$ et quand $\theta$ tend vers $0$

$\ln\left(4\sin^2\frac{\theta}{2}\right)=2\ln2+2\ln\left|\sin\frac{\theta}{2}\right|\sim2\ln\left|\frac{\theta}{2}\right|\sim2\ln|\theta|=o\left(\frac{1}{\sqrt{|\theta|}}\right)$ .

On en déduit que la fonction $\theta\mapsto\ln\left(4\sin^2\frac{\theta}{2}\right)$ est intégrable sur $[-\pi,\pi]$ et donc que $F(1)$ existe.

Finalement, $F$ est définie sur $[0,+\infty[$ et par parité

$F$ est définie sur $\Rr$ .

Par parité de la fonction $\theta\mapsto\ln(x^2-2x\cos\theta+1)$ , pour tout réel $x$ , on a encore $F(x)=2\int_{0}^{\pi}\ln(x^2-2x\cos\theta+1)\;d\theta$ .

Continuité de $F$ . Soit $A>1$ . Soit $\begin{array}{cccc} \Phi~:&[0,A]\times]0,\pi]&\rightarrow&\Rr\\ &(x,\theta)&\mapsto&\ln(x^2-2x\cos\theta+1) \end{array}$ .

Pour chaque $x\in[0,A]$ , la fonction $\theta\mapsto\Phi(x,\theta)$ est continue par morceaux sur $]0,\pi]$ .

Pour chaque $\theta\in]0,\pi]$ , la fonction $x\mapsto\Phi(x,\theta)$ est continue par morceaux sur $[0,A]$ .

Pour chaque $(x,\theta)\in\Rr^+\times]0,\pi]$ , puisque $x^2-2x\cos\theta+1=(x-\cos\theta)^2+(\sin\theta)^2$ ,

$\begin{align*}\ensuremath |\Phi(x,\theta)|&\leqslant\text{Max}\{\left|\ln(0^2-0\cos\theta+1)\right|,\left|\ln(\cos^2\theta-2\cos\theta\cos\theta+1)\right|,\left|\ln(A^2-2A\cos\theta+1)\right|\}\\ &=\text{Max}\{2\left|\ln(|\sin\theta|)\right|,\left|\ln(A^2-2A\cos\theta+1)\right|\}=\varphi(\theta). \end{align*}$

On a vu que la fonction $f_1~:~\theta\mapsto2\left|\ln(|\sin\theta|)\right|$ est intégrable sur $]0,\pi]$ et d’autre part, la fonction $f_2~:~\theta\left|\ln(A^2-2A\cos\theta+1)\right|$ est intégrable sur $[0,\pi]$ et donc sur $]0,\pi]$ car continue sur $[0,\pi]$ . Puisque $\varphi=\frac{1}{2}(f_1+f_2+|f_1-f_2|)$ , on en déduit que la fonction $\varphi$ est continue par morceaux et intégrable sur $]0,\pi]$ .

D’après le théorème de continuité des intégrales à paramètres, la fonction $F$ est continue sur $[0,A]$ et ceci pour tout $A>1$ . Par suite, la fonction $F$ est continue sur $\Rr^+$ puis par parité,

la fonction $F$ est continue sur $\Rr$ .

Dérivabilité de $F$ . Soient $A\in]0,1[$ puis $\begin{array}{cccc} \Phi~:&[-A,A]\times[0,\pi]&\rightarrow&\Rr\\ &(x,\theta)&\mapsto&\ln(x^2-2x\cos\theta+1) \end{array}$ .

Pour chaque $x\in[-A,A]$ , la fonction $\theta\mapsto \Phi(x,\theta)$ est continue sur le segment $[0,\pi]$ et donc intégrable sur ce segment.

La fonction $\Phi$ admet sur $[-A,A]\times[0,\pi]$ une dérivée partielle par rapport à sa première variable $x$ définie par

$\forall(x,\theta)\in[-A,A]\times[0,\pi]$ , $\frac{\partial \Phi}{\partial x}(x,\theta)=\frac{2x-2\cos\theta}{x^2-2x\cos\theta+1}$ .

De plus,

- pour chaque $x\in[-A,A]$ , la fonction $\theta\mapsto\frac{\partial \Phi}{\partial x}(x,\theta)$ est continue par morceaux sur $[0,\pi]$ ,

- pour chaque $\theta\in[0,\pi]$ , la fonction $x\mapsto\frac{\partial \Phi}{\partial x}(x,\theta)$ est continue sur $[-A,A]$ ,

- pour chaque $(x,\theta)\in[-A,A]\times[0,\pi]$ ,

$\left|\frac{\partial \Phi}{\partial x}(x,\theta)\right|=\frac{2|x-\cos\theta|}{|x-e^{i\theta}|^2}\leqslant\frac{4}{|A-1|^2}=\varphi(\theta)$ .

La dernière inégalité écrite est claire géométriquement :

\[\]

De plus, la fonction constante $\varphi$ est intégrable sur le segment $[0,\pi]$ .

D’après le théorème de dérivation des intégrales à paramètres, la fonction $F$ est de classe $C^1$ sur $[-A,A]$ et sa dérivée s’obtient par dérivation sous le signe somme. Ceci étant vrai pour tout $A\in]0,1[$ , $F$ est de classe $C^1$ sur $]-1,1[$ et $\forall x\in]-1,1[$ ,

$F'(x)=4\int_{0}^{\pi}\frac{x-\cos\theta}{x^2-2x\cos\theta+1}\;d\theta$ . La démarche est analogue sur $]-\infty,-1[$ et sur $]1,+\infty[$ et finalement $F$ est de classe $C^1$ sur $\Rr\setminus\{-1,1\}$ et

$\forall x\in\Rr\setminus\{-1,1\}$ , $F'(x)=4\int_{0}^{\pi}\frac{x-\cos\theta}{x^2-2x\cos\theta+1}\;d\theta$ .

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