Parité de \(F\). Soit \(x\) un réel du domaine de définition de \(F\). En posant \(t=\theta+\pi\), on obtient

\[\begin{align*}\ensuremath F(x)&=\int_{-\pi}^{\pi}\ln(x^2-2x\cos\theta+1)\;d\theta=\int_{0}^{2\pi}\ln(x^2+2x\cos t+1)\;dt\\ &=\int_{-\pi}^{\pi}\ln(x^2+2x\cos t+1)\;dt\;(\text{par}\;2\pi\text{-périodicité})\\ &=\int_{-\pi}^{\pi}\ln((-x)^2-2(-x)\cos t+1)\;dt=F(-x). \end{align*}\]

Ainsi, pour tout réel \(x\), \(F(x)\) existe si et seulement si \(F(-x)\) existe et de plus \(F(x)=F(-x)\).

Définition de \(F\). Soit \(x\in[0,+\infty[\). Pour tout réel \(\theta\in[-\pi,\pi]\),

\(x^2-2x\cos\theta+1=(x-\cos\theta)^2+(\sin\theta)^2=\left|x-e^{i\theta}\right|^2\geqslant0\).

De plus, \(\left|x-e^{i\theta}\right|=0\Leftrightarrow e^{i\theta}=x\Leftrightarrow x=1\;\text{et}\;\theta=0\). Par suite,

si \(x\neq1\), la fonction \(\theta\mapsto x^2-2x\cos\theta+1\) est continue sur le segment \([0,\pi]\) et donc intégrable sur ce segment.

si \(x=1\), pour tout réel \(\theta\in[-\pi,\pi]\) on a \(x^2-2x\cos\theta+1=2-2\cos\theta=4\sin^2\frac{\theta}{2}\). La fonction \(\theta\mapsto\ln\left(4\sin^2\frac{\theta}{2}\right)\)

est continue sur \([-\pi,0[\cup]0,\pi]\) et quand \(\theta\) tend vers \(0\)

\(\ln\left(4\sin^2\frac{\theta}{2}\right)=2\ln2+2\ln\left|\sin\frac{\theta}{2}\right|\sim2\ln\left|\frac{\theta}{2}\right|\sim2\ln|\theta|=o\left(\frac{1}{\sqrt{|\theta|}}\right)\).

On en déduit que la fonction \(\theta\mapsto\ln\left(4\sin^2\frac{\theta}{2}\right)\) est intégrable sur \([-\pi,\pi]\) et donc que \(F(1)\) existe.

Finalement, \(F\) est définie sur \([0,+\infty[\) et par parité

Par parité de la fonction \(\theta\mapsto\ln(x^2-2x\cos\theta+1)\), pour tout réel \(x\), on a encore \(F(x)=2\int_{0}^{\pi}\ln(x^2-2x\cos\theta+1)\;d\theta\).

Continuité de \(F\). Soit \(A>1\). Soit \(\begin{array}[t]{cccc} \Phi~:&[0,A]\times]0,\pi]&\rightarrow&\Rr\\ &(x,\theta)&\mapsto&\ln(x^2-2x\cos\theta+1) \end{array}\).

Pour chaque \(x\in[0,A]\), la fonction \(\theta\mapsto\Phi(x,\theta)\) est continue par morceaux sur \(]0,\pi]\).

Pour chaque \(\theta\in]0,\pi]\), la fonction \(x\mapsto\Phi(x,\theta)\) est continue par morceaux sur \([0,A]\).

Pour chaque \((x,\theta)\in\Rr^+\times]0,\pi]\), puisque \(x^2-2x\cos\theta+1=(x-\cos\theta)^2+(\sin\theta)^2\),

\[\begin{align*}\ensuremath |\Phi(x,\theta)|&\leqslant\text{Max}\{\left|\ln(0^2-0\cos\theta+1)\right|,\left|\ln(\cos^2\theta-2\cos\theta\cos\theta+1)\right|,\left|\ln(A^2-2A\cos\theta+1)\right|\}\\ &=\text{Max}\{2\left|\ln(|\sin\theta|)\right|,\left|\ln(A^2-2A\cos\theta+1)\right|\}=\varphi(\theta). \end{align*}\]

On a vu que la fonction \(f_1~:~\theta\mapsto2\left|\ln(|\sin\theta|)\right|\) est intégrable sur \(]0,\pi]\) et d’autre part, la fonction \(f_2~:~\theta\left|\ln(A^2-2A\cos\theta+1)\right|\) est intégrable sur \([0,\pi]\) et donc sur \(]0,\pi]\) car continue sur \([0,\pi]\). Puisque \(\varphi=\frac{1}{2}(f_1+f_2+|f_1-f_2|)\), on en déduit que la fonction \(\varphi\) est continue par morceaux et intégrable sur \(]0,\pi]\).

D’après le théorème de continuité des intégrales à paramètres, la fonction \(F\) est continue sur \([0,A]\) et ceci pour tout \(A>1\). Par suite, la fonction \(F\) est continue sur \(\Rr^+\) puis par parité,

Dérivabilité de \(F\). Soient \(A\in]0,1[\) puis \(\begin{array}[t]{cccc} \Phi~:&[-A,A]\times[0,\pi]&\rightarrow&\Rr\\ &(x,\theta)&\mapsto&\ln(x^2-2x\cos\theta+1) \end{array}\).

Pour chaque \(x\in[-A,A]\), la fonction \(\theta\mapsto \Phi(x,\theta)\) est continue sur le segment \([0,\pi]\) et donc intégrable sur ce segment.

La fonction \(\Phi\) admet sur \([-A,A]\times[0,\pi]\) une dérivée partielle par rapport à sa première variable \(x\) définie par

\(\forall(x,\theta)\in[-A,A]\times[0,\pi]\), \(\frac{\partial \Phi}{\partial x}(x,\theta)=\frac{2x-2\cos\theta}{x^2-2x\cos\theta+1}\).

De plus,

- pour chaque \(x\in[-A,A]\), la fonction \(\theta\mapsto\frac{\partial \Phi}{\partial x}(x,\theta)\) est continue par morceaux sur \([0,\pi]\),

- pour chaque \(\theta\in[0,\pi]\), la fonction \(x\mapsto\frac{\partial \Phi}{\partial x}(x,\theta)\) est continue sur \([-A,A]\),

- pour chaque \((x,\theta)\in[-A,A]\times[0,\pi]\),

\(\left|\frac{\partial \Phi}{\partial x}(x,\theta)\right|=\frac{2|x-\cos\theta|}{|x-e^{i\theta}|^2}\leqslant\frac{4}{|A-1|^2}=\varphi(\theta)\).

La dernière inégalité écrite est claire géométriquement :

\[\]

De plus, la fonction constante \(\varphi\) est intégrable sur le segment \([0,\pi]\).

D’après le théorème de dérivation des intégrales à paramètres, la fonction \(F\) est de classe \(C^1\) sur \([-A,A]\) et sa dérivée s’obtient par dérivation sous le signe somme. Ceci étant vrai pour tout \(A\in]0,1[\), \(F\) est de classe \(C^1\) sur \(]-1,1[\) et \(\forall x\in]-1,1[\),

\(F'(x)=4\int_{0}^{\pi}\frac{x-\cos\theta}{x^2-2x\cos\theta+1}\;d\theta\). La démarche est analogue sur \(]-\infty,-1[\) et sur \(]1,+\infty[\) et finalement \(F\) est de classe \(C^1\) sur \(\Rr\setminus\{-1,1\}\) et

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