Remarquons d’abord que pour $n \in \Nn$ , $\frac{2n+1}{n+2} \leq 2$ car $2n+1 \leq 2(n+2)$ . Étant donné $\epsilon > 0$ , nous avons donc $\forall n \in \Nn \quad \frac{2n+1}{n+2} < 2 + \epsilon$ Maintenant nous cherchons une condition sur $n$ pour que l’inégalité $2-\epsilon < \frac{2n + 1}{n + 2}$ soit vraie. $\begin{align*} 2-\epsilon < \frac{2n + 1}{n + 2} &\Leftrightarrow (2-\epsilon)(n+2) < 2n+1 \\ &\Leftrightarrow 3 < \epsilon (n+2) \\ &\Leftrightarrow n > \frac{3}{\epsilon}-2 \\ \end{align*}$

Ici $\epsilon$ nous est donné, nous prenons un $N\in \Nn$ tel que $N > \frac{3}{\epsilon}-2$ , alors pour tout $n \geq N$ nous avons $n \geq N > \frac{3}{\epsilon}-2$ et par conséquent: $2-\epsilon < \frac{2n + 1}{n + 2}$ . Conclusion: étant donné $\epsilon > 0$ , nous avons trouvé un $N\in \Nn$ tel que pour tout $n \geq N$ on ait $2-\epsilon < \frac{2n + 1}{n + 2}$ et $\frac{2n+1}{n+2} < 2 + \epsilon$ .

En fait nous venons de prouver que la suite de terme $(2n+1)/(n+2)$ tend vers $2$ quand $n$ tend vers $+\infty$ .

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