Remarquons d’abord que pour \(n \in \Nn\), \(\frac{2n+1}{n+2} \leq 2\) car \(2n+1 \leq 2(n+2)\). Étant donné \(\epsilon > 0\), nous avons donc \[\forall n \in \Nn \quad \frac{2n+1}{n+2} < 2 + \epsilon\] Maintenant nous cherchons une condition sur \(n\) pour que l’inégalité \[2-\epsilon < \frac{2n + 1}{n + 2}\] soit vraie. \[\begin{align*} 2-\epsilon < \frac{2n + 1}{n + 2} &\Leftrightarrow (2-\epsilon)(n+2) < 2n+1 \\ &\Leftrightarrow 3 < \epsilon (n+2) \\ &\Leftrightarrow n > \frac{3}{\epsilon}-2 \\ \end{align*}\]

Ici \(\epsilon\) nous est donné, nous prenons un \(N\in \Nn\) tel que \(N > \frac{3}{\epsilon}-2\), alors pour tout \(n \geq N\) nous avons \(n \geq N > \frac{3}{\epsilon}-2\) et par conséquent: \(2-\epsilon < \frac{2n + 1}{n + 2}\). Conclusion: étant donné \(\epsilon > 0\), nous avons trouvé un \(N\in \Nn\) tel que pour tout \(n \geq N\) on ait \(2-\epsilon < \frac{2n + 1}{n + 2}\) et \(\frac{2n+1}{n+2} < 2 + \epsilon\).

En fait nous venons de prouver que la suite de terme \((2n+1)/(n+2)\) tend vers \(2\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\).

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