Oui. Pour \(n=1\) il y a égalité. Pour \(n=2\) cela résulte de la densité de \(\mathbb{U}\cap\Q[i]\) dans \(\mathbb{U}\) (démonstration ci-dessous). Pour \(n\) quelconque, il suffit de voir qu’une réflexion quelconque est limite de réflexions à coefficients rationnels (approcher un vecteur non nul normal à l’hyperplan de réflexion par une suite de vecteurs rationnels).

Densité de \(\mathbb{U}\cap\Q[i]\) dans \(\mathbb{U}\) : pour \(p\in\N^*\) on considère \(z_p = \frac{(p^2-1)+2ip}{p^2+1}\). On a \(z_p\in \mathbb{U}\cap\Q[i]\) et \(z_p \to 1\) lorsque \(p\to\infty\). Si \(z\in\mathbb{U}\) alors \(d(z,\mathbb{U}\cap\Q[i])\le d(z,\{z_p^k,\ k\in\Z\})\le \frac12|1-z_p|\).

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