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$E =C^0(\Rr,\Rr)$ . Pour $f$ élément de $E$ , $\varphi(f)$ est l’application définie par :

$\forall x\in\Rr^*$ , $(\varphi(f))(x) =\frac{1}{x}\int_{0}^{x}f(t)\;dt$ si $x\neq 0$ et $(\varphi(f))(0) =f(0)$ .

Montrer que $\varphi$ est un endomorphisme de $E$ .

Etudier l’injectivité et la surjectivité de $\varphi$ .

Déterminer les éléments propres de $\varphi$ .