On cherche \(\lambda\in\Rr\) et \(f\) continue sur \(\Rr\) et non nulle telle que \(\forall x\in\Rr,\;(\varphi(f))(x) =\lambda f(x)\). D’après la question précédente, \(0\) n’est pas valeur propre de \(\varphi\) et donc nécessairement \(\lambda\neq0\).

Pour \(x = 0\), nécessairement \(f(0) =\lambda f(0)\) et donc ou bien \(\lambda= 1\) ou bien \(f(0) = 0\).

On doit avoir pour tout \(x\in\Rr^*\), \(f(x)=\frac{1}{\lambda x}\int_{0}^{x}f(t)\;dt\). \(f\) est nécessairement dérivable sur \(\Rr^*\). Pour tout \(x\in\Rr^*\), on a \(\int_{0}^{x}f(t)\;dt=\lambda xf(x)\) et par dérivation, on obtient pour \(x\in\Rr^*\),

\(f(x) =\lambda(xf'(x)+f(x))\).

Soit \(I\) l’un des deux intervalles \(]-\infty,0[\) ou \(]0,+\infty[\).

\[\begin{align*}\ensuremath \forall x\in I,\;f(x) =\lambda(xf'(x)+f(x))&\Rightarrow\forall x\in I,\;f'(x)+\frac{\lambda-1}{\lambda x}f(x) = 0\\ &\Rightarrow\forall x\in I,\;e^{\frac{(\lambda-1)\ln|x|}{\lambda}}f'(x)+\frac{\lambda-1}{\lambda x}e^{\frac{(\lambda-1)\ln|x|}{\lambda}}f(x) = 0\\ &\Rightarrow\forall x\in I,\;\left(|x|^{\frac{\lambda-1}{\lambda}}f\right)'(x)=0\\ &\Rightarrow\exists K\in\Rr/\;\forall x\in I,\;|x|^{\frac{\lambda-1}{\lambda}}f(x)=K\Rightarrow\exists K\in\Rr/\;\forall x\in I,\;f(x)=K|x|^{\frac{1-\lambda}{\lambda}}. \end{align*}\]

1er cas. Si \(\lambda\in]-\infty,0[\cup]1,+\infty[\) alors \(\frac{1-\lambda}{\lambda}< 0\) et donc \(\lim_{x \rightarrow 0}|x|^{\frac{1-\lambda}{\lambda}}=+\infty\). La fonction \(x\mapsto K|x|^{\frac{1-\lambda}{\lambda}}\) ne peut donc être la restriction à \(I\) d’une fonction continue sur \(\Rr\) que dans le cas \(K = 0\). Ceci fournit \(f_{/]-\infty,0[}= 0\), \(f_{/]0,+\infty[}= 0\) et \(f(0)=0\) par continuité en \(0\). Dons \(f\) est nécessairement nulle et \(\lambda\) n’est pas valeur propre de \(\varphi\) dans ce cas.

2ème cas. Si \(\lambda= 1\), les restriction de \(f\) à \(]-\infty,0[\) ou \(]0,+\infty[\) sont constantes et donc, par continuité de \(f\) en \(0\), \(f\) est constante sur \(\Rr\). Réciproquement, les fonctions constantes \(f\) vérifient bien \(\varphi(f) = f\). Ainsi, \(1\) est valeur propre de \(f\) et le sous-espace propre associé est constitué des fonctions constantes.

3ème cas. Si \(\lambda\in]0,1[\), nécessairement \(\exists(K_1,K_2)\in\Rr^2/\;\forall x\in\Rr,\;f(x)=\left\{ \begin{array}{l} K_1x^{\frac{1}{\lambda}-1}\;\text{si}\;x\geq0\\ K_2(-x)^{\frac{1}{\lambda}-1}\;\text{si}\;x < 0 \end{array} \right.\). \(f\) ainsi définie est bien continue sur \(\Rr\). Calculons alors \(\varphi(f)\).

\((\varphi(f))(0)=f(0)=0\) puis si \(x > 0\),

\((\varphi(f))(x)=\frac{1}{x}\int_{0}^{x}K_1t^{\frac{1-\lambda}{\lambda}}\;dt=\frac{\lambda K_1}{x}x^{\frac{1}{\lambda}}=\lambda K_1 x^{\frac{1}{\lambda}-1}=\lambda f(x)\)

et de même si \(x < 0\). Enfin, \((\varphi(f))(0)=0=\lambda f(0)\). Finalement \(\varphi(f) =\lambda f\). \(\lambda\) est donc valeur propre de \(\varphi\) (\(K_1 = K_2 = 1\) fournit une fonction non nulle) et le sous-espace propre associé à \(\lambda\) est de dimension \(2\). Une base de ce sous-espace est \((f_1,f_2)\) où \(\forall x\in\Rr\), \(f_1(x)=\left\{ \begin{array}{l} x^{\frac{1}{\lambda}-1}\;\text{si}\;x\geq0\\ 0\;\text{si}\;x < 0 \end{array} \right.\) et \(f_2(x) =\left\{ \begin{array}{l} 0\;\text{si}\;x\geq0\\ (-x)^{\frac{1}{\lambda}-1}\;\text{si}\;x < 0 \end{array} \right.\).

Finalement

exo7 5674