L1 Algèbre Application linéaire Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSI 2 questions

exo7 971

EE est un R−\Rr-espace vectoriel, FF et GG deux sous-espaces supplémentaires de EE: E=F⨁G.E=F\bigoplus G. On pose s(u)=uF−uGs(u)=u_{F}-u_{G} où u=uF+uGu=u_{F}+u_{G} est la décomposition (unique) obtenue grâce à E=F⨁G.E=F\bigoplus G. ss est la symétrie par-rapport à FF de direction G.G.

1

Montrer que s∈L(E),s\in L(E), que u∈F⇔s(u)=u,u∈G⇔s(u)=−u,u\in F\Leftrightarrow s(u)=u,u\in G\Leftrightarrow s(u)=-u, donner Ker(s)\mathrm{Ker}(s) et calculer s2.s^{2}.

2

Réciproquement si f∈L(E)f\in L(E) vérifie f2=idE.f^{2}=id_{E}. On pose p=f+idE2.p=\frac{f+id_{E}}{2}. Calculer f(u)f(u) en fonction de p(u)p(u) et u.u. Vérifier que pp est un projecteur, calculer son noyau et son image. Montrer que ff est la symétrie par rapport à F={u∈E∣f(u)=u}F=\{u\in E|f(u)=u\} de direction G={u∈E∣f(u)=−u}.G=\{u\in E|f(u)=-u\}.

Exercice V6f6

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