\(E\) est un \(\Rr-\)espace vectoriel, \(F\) et \(G\) deux sous-espaces supplémentaires de \(E\): \(E=F\bigoplus G.\) On pose \(s(u)=u_{F}-u_{G}\) où \(u=u_{F}+u_{G}\) est la décomposition (unique) obtenue grâce à \(E=F\bigoplus G.\) \(s\) est la symétrie par-rapport à \(F\) de direction \(G.\)
Montrer que \(s\in L(E),\) que \(u\in F\Leftrightarrow s(u)=u,u\in G\Leftrightarrow s(u)=-u,\) donner \(\mathrm{Ker}(s)\) et calculer \(s^{2}.\)
Réciproquement si \(f\in L(E)\) vérifie \(f^{2}=id_{E}.\) On pose \(p=\frac{f+id_{E}}{2}.\) Calculer \(f(u)\) en fonction de \(p(u)\) et \(u.\) Vérifier que \(p\) est un projecteur, calculer son noyau et son image. Montrer que \(f\) est la symétrie par rapport à \(F=\{u\in E|f(u)=u\}\) de direction \(G=\{u\in E|f(u)=-u\}.\)