Soit \(A = \begin{pmatrix} 1 &2 &3\cr 2 &3 &1\cr 3 &1 &2 \cr\end{pmatrix}\).
1
Vérifier que \((A-6I)(A^2-3I) = 0\).
2
Soit \(n\in\N\) et \(P_n\) le polynôme de degré inférieur ou égal à 2 tel que \[{P(6) = 6^n},\quad {P\bigl(\sqrt3\bigr) = \bigl(\sqrt3\bigr)^n},\quad \text{et } {P\bigl(-\sqrt3\bigr) = \bigl(-\sqrt3\bigr)^n}.\] Montrer que \(A^n = P_n(A)\).
3
Même question pour \(n \in \Zz\).