Pour \(x>0\), \((x^x)^x=e^{x\ln(x^x)}=e^{x^2\ln x}\) et \(x^{(x^x)}=e^{x^x\ln x}\). Par suite,

\[\forall x>0,\;\frac{(x^x)^x}{x^{(x^x)}}=\text{exp}(\ln x(x^2-x^x)).\] Or, \(x^2-x^x=-x^x(1-x^{2-x})=-e^{x\ln x}(1-e^{(2-x)\ln x})\). Quand \(x\) tend vers \(+\infty\), \((2-x)\ln x\) tend vers \(-\infty\). Donc, \(1-e^{(2-x)\ln x}\) tend vers \(1\) puis \(x^2-x^x\) tend vers \(-\infty\). Mais alors, \(\ln x(x^2-x^x)\) tend vers \(-\infty\), puis \(\frac{(x^x)^x}{x^{(x^x)}}=\mbox{exp}(\ln x(x^2-x^x))\) tend vers \(0\).

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