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Montrer la formule de Green pour une courbe fermée simple $C$ ayant la propriété d’être rencontrée par des parallèles aux axes de coordonnées en deux points au plus.

Si $f(z,\overline{z})=u(x,y)+iv(x,y)$ est continue et possède des dérivées partielles continues dans un ouvert connexe $\Omega$ et sur sa frontière $C$, montrer que la formule de Green peut s’écrire sous la forme complexe suivante $$\int_Cf(z,\overline{z})dz=2i\int\!\int_\Omega {\partial f\over \partial \overline{z}}dxdy$$

Si $C$ est une courbe fermée simple délimitant un ouvert d’aire $A$, montrer que $A={1\over 2i}\int_C\overline{z}dz$.

Calculer $\int_C\overline{z}dz$ le long

du cercle $\vert z-2\vert =3$

du carré de sommets $z=0$, $z=2$, $z=2i$ et $z=2+2i$

de l’ellipse $\vert z-3\vert +\vert z+3\vert =10$