Soit \(P(x,y)\) et \(Q(x,y)\) des fonctions continues à valeurs réelles et à dérivées partielles continues sur un ouvert connexe \(\Omega\) et sur sa frontière \(C\). La formule de Green établit que \[\int_CPdx+Qdy= \int\!\int_\Omega \left({\partial Q\over \partial x}-{\partial P\over \partial y}\right) dxdy\]
Montrer la formule de Green pour une courbe fermée simple \(C\) ayant la propriété d’être rencontrée par des parallèles aux axes de coordonnées en deux points au plus.
Si \(f(z,\overline{z})=u(x,y)+iv(x,y)\) est continue et possède des dérivées partielles continues dans un ouvert connexe \(\Omega\) et sur sa frontière \(C\), montrer que la formule de Green peut s’écrire sous la forme complexe suivante \[\int_Cf(z,\overline{z})dz=2i\int\!\int_\Omega {\partial f\over \partial \overline{z}}dxdy\]
Si \(C\) est une courbe fermée simple délimitant un ouvert d’aire \(A\), montrer que \(A={1\over 2i}\int_C\overline{z}dz\).
Calculer \(\int_C\overline{z}dz\) le long
du cercle \(\vert z-2\vert =3\)
du carré de sommets \(z=0\), \(z=2\), \(z=2i\) et \(z=2+2i\)
de l’ellipse \(\vert z-3\vert +\vert z+3\vert =10\)