La fonction est définie sur $\Rr^*$ t elle est continue sur $\Rr^*$ . Il faut déterminer un éventuel prolongement par continuité en $x=0$ , c’est-à-dire savoir si $f$ a une limite en $0$ . $|f(x)| = |\sin x| |\sin 1/x| \leq |\sin x|.$ Donc $f$ a une limite en $0$ qui vaut $0$ . Donc en posant $f(0) = 0$ , nous obtenons une fonction $f : \Rr \longrightarrow \Rr$ qui est continue. La fonction $g$ est définie et continue sur $\Rr^*$ . Etudions la situation en $0$ . Il faut remarquer que $g$ est la taux d’accroissement en $0$ de la fonction $k(x) = \ln \frac{e^x+e^{-x}}{2}$ : en effet $g(x)=\frac{k(x)-k(0)}{x-0}$ . Donc si $k$ est dérivable en $0$ alors la limite de $g$ en $0$ est égale à la valeur de $k'$ en $0$ .

Or la fonction $k$ est dérivable sur $\Rr$ et $k'(x) = \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$ donc $k'(0)=0$ . Bilan : en posant $g(0)=0$ nous obtenons une fonction $g$ définie et continue sur $\Rr$ . $h$ est définie et continue sur $\Rr \setminus \{ -1,1 \}$ . $h(x) = \frac{1}{1-x} - \frac{2}{1-x^2} = \frac{1+x-2}{(1-x)(1+x)} = \frac{-1+x}{(1-x)(1+x)} = \frac{-1}{(1+x)}.$ Donc $h$ a pour limite $-\frac 12$ quand $x$ tend vers $1$ . Et donc en posant $h(1) = -\frac 12$ , nous définissons une fonction continue sur $\Rr \setminus \{ -1 \}$ . En $-1$ la fonction $h$ ne peut être prolongée continuement, car en $-1$ , $h$ n’admet de limite finie.

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