La fonction est définie sur \(\Rr^*\) t elle est continue sur \(\Rr^*\). Il faut déterminer un éventuel prolongement par continuité en \(x=0\), c’est-à-dire savoir si \(f\) a une limite en \(0\). \[|f(x)| = |\sin x| |\sin 1/x| \leq |\sin x|.\] Donc \(f\) a une limite en \(0\) qui vaut \(0\). Donc en posant \(f(0) = 0\), nous obtenons une fonction \(f : \Rr \longrightarrow \Rr\) qui est continue. La fonction \(g\) est définie et continue sur \(\Rr^*\). Etudions la situation en \(0\). Il faut remarquer que \(g\) est la taux d’accroissement en \(0\) de la fonction \(k(x) = \ln \frac{e^x+e^{-x}}{2}\) : en effet \(g(x)=\frac{k(x)-k(0)}{x-0}\). Donc si \(k\) est dérivable en \(0\) alors la limite de \(g\) en \(0\) est égale à la valeur de \(k'\) en \(0\).

Or la fonction \(k\) est dérivable sur \(\Rr\) et \(k'(x) = \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}\) donc \(k'(0)=0\). Bilan : en posant \(g(0)=0\) nous obtenons une fonction \(g\) définie et continue sur \(\Rr\). \(h\) est définie et continue sur \(\Rr \setminus \{ -1,1 \}\). \[h(x) = \frac{1}{1-x} - \frac{2}{1-x^2} = \frac{1+x-2}{(1-x)(1+x)} = \frac{-1+x}{(1-x)(1+x)} = \frac{-1}{(1+x)}.\] Donc \(h\) a pour limite \(-\frac 12\) quand \(x\) tend vers \(1\). Et donc en posant \(h(1) = -\frac 12\), nous définissons une fonction continue sur \(\Rr \setminus \{ -1 \}\). En \(-1\) la fonction \(h\) ne peut être prolongée continuement, car en \(-1\), \(h\) n’admet de limite finie.

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