Soit \(f\) une application de \([0,1]\) dans \(\Rr\), continue sur \([0,1]\) et vérifiant \(f(0)=f(1)\).
Soit \(n\) un entier naturel non nul et soit \(a=\frac{1}{n}\). Montrer que l’équation \(f(x+a)=f(x)\) admet au moins une solution.
Montrer (en fournissant une fonction précise) que, si \(a\) est un réel de \(]0,1[\) qui n’est pas de la forme précédente, il est possible que l’équation \(f(x+a)=f(x)\) n’ait pas de solution.
Application. Un cycliste parcourt 20 km en une heure.
Montrer qu’il existe au moins un intervalle de temps de durée une demi-heure pendant lequel il a parcouru 10 km.
Montrer qu’il existe au moins un intervalle de temps de durée 3 min pendant lequel il a parcouru 1 km.
Montrer qu’il n’existe pas nécessairement un intervalle de temps de durée 45 min pendant lequel il a parcouru 15 km.