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Soit $n$ un entier naturel non nul et soit $a=\frac{1}{n}$. Montrer que l’équation $f(x+a)=f(x)$ admet au moins une solution.

Montrer (en fournissant une fonction précise) que, si $a$ est un réel de $]0,1[$ qui n’est pas de la forme précédente, il est possible que l’équation $f(x+a)=f(x)$ n’ait pas de solution.

Application. Un cycliste parcourt 20 km en une heure.

Montrer qu’il existe au moins un intervalle de temps de durée une demi-heure pendant lequel il a parcouru 10 km.

Montrer qu’il existe au moins un intervalle de temps de durée 3 min pendant lequel il a parcouru 1 km.

Montrer qu’il n’existe pas nécessairement un intervalle de temps de durée 45 min pendant lequel il a parcouru 15 km.