Soit $N$ une norme sur $E$ vérifiant $\forall(x,y)\in E^2$ $(N(x+y))^2+(N(x-y))^2 = 2((N(x))^2+(N(y))^2)$ .

Il faut montrer que la norme $N$ est associée à un produit scalaire $B$ . Si $B$ existe, $B$ est nécessairement défini par

$\forall(x,y)\in E^2$ , $B(x,y) =\frac{1}{4}((N(x+y))^2-(N(x-y))^2)$ .

Réciproquement,

Pour tout $x\in E$ , $B(x,x) =\frac{1}{4}((N(2x))^2-(N(0))^2)=\frac{1}{4}(4(N(x))^2-0) =(N(x))2$ et donc $\forall x\in E$ , $B(x,x)\geqslant0$ puis $B(x,x)=0\Leftrightarrow x=0$ . De plus, $\forall x\in E$ , $N(x)=\sqrt{B(x,x)}$ .

$\forall (x,y)\in E^2$ , $B(y,x)=\frac{1}{4}((N(y+x))^2-(N(y-x))^2)=\frac{1}{4}((N(x+y))^2-(N(x-y))^2)=B(x,y)$ .

Vérifions alors que l’application $B$ est bilinéaire.

1) Montrons que $\forall(x,y,z)\in E^3$ , $B(x+y,z)+B(x-y,z)=2B(x,z)$ .

$\begin{align*}\ensuremath B(x+y,z) + B(x-y,z)&=\frac{1}{4}((N(x+y+z))^2-(N(x+y-z))^2 +(N(x-y+z))^2-(N(x-y-z))^2)\\ &=\frac{1}{4}((N(x+y+z))^2+(N(x-y+z))^2)-((N(x+y-z))^2+(N(x-y-z))^2)\\ &=\frac{1}{4}(2(N(x+z))^2 +(N(y))^2)-2((N(x-z))^2 +(N(y))^2)\;(\text{par hypothèse sur}\;N)\\ &=\frac{2}{4}((N(x+z))^2-(N(x-z))^2) =2B(x,z). \end{align*}$

2) Montrons que $\forall(x,z)\in E^2$ , $B(2x,z) = 2B(x,z)$ . Tout d’abord, $B(0,z)=\frac{1}{4}((N(z))^2-(N(-z))^2)=0$ puis d’après 1)

$\begin{align*}\ensuremath B(2x,z)&= B(x+x,z)+B(x-x,z) = 2B(x,z). \end{align*}$

3) Montrons que $\forall(x,y,z)\in E^3$ , $B(x,z) + B(y,z) = B(x+y,z)$ .

$\begin{align*}\ensuremath B(x,z) + B(y,z)&= B\left(\frac{x+y}{2}+\frac{x-y}{2},z\right)+ B\left(\frac{x+y}{2}-\frac{x-y}{2},z\right)\\ &=2B\left(\frac{x+y}{2},z\right)\;(\text{d'après 1)})\\ &= B(x+y,z)\;(\text{d'après 2)}). \end{align*}$

4) Montrons que $\forall n\in\Nn$ , $\forall(x,y)\in E^2$ , $B(nx,y) = nB(x,y)$ .

C’est vrai pour $n = 0$ et $n=1$ .

Soit $n\geqslant0$ . Supposons que $\forall(x,y)\in E^2$ , $B(nx,y) = nB(x,y)$ et $B((n+1)x,y) = (n+1)B(x,y)$ . Alors

$B((n+2)x,y) + B(nx,y) = B((n+2)x+nx,y) = B(2(n+1)x,y) = 2B((n+1)x,y)$ ,

et donc, par hypothèse de récurrence, $B((n+2)x,y)=2(n+1)B(x,y)-nB(x,y) =(n+2)B(x,y)$ .

5) Montrons que $\forall n\in\Zz$ , $\forall(x,y)\in E^2$ , $B(nx,y) = nB(x,y)$ . Le résultat est acquis pour $n\geqslant 0$ . Pour $n\in\Nn$ ,

$B(nx,y) + B(-nx,y) = B(0,y) = 0$ et donc $B(-nx,y) =- B(nx,y)=-nB(x,y)$ ,

6) Montrons que $\forall n\in\Nn^*$ , $\forall(x,y)\in E^2$ , $B\left(\frac{1}{n}x,y\right) =\frac{1}{n}B(x,y)$ .

$B(x,y) =B\left(\frac{1}{n}nx,y\right) =nB\left(\frac{1}{n}x,y\right)$ et donc $B\left(\frac{1}{n}x,y\right) =\frac{1}{n}B(x,y)$ .

7) Montrons que $\forall r\in\Qq$ , $\forall(x,y)\in E^2$ , $B(rx,y) = rB(x,y)$ . Soient $(p,q)\in\Zz\times\Nn^*$ puis $r=\frac{p}{q}$ .

$B(rx,y) = B\left(\frac{p}{q}x,y\right) =pB\left(\frac{1}{q}x,y\right)=\frac{p}{q}B(x,y) = rB(x,y)$ .

8) Montrons que $\forall\lambda\in\Rr$ , $\forall(x,y)\in E^2$ , $B(\lambda x,y) =\lambda B(x,y)$ . Soit $\lambda$ un réel. Puisque $\Qq$ est dense dans $\Rr$ , il existe une

suite de rationnels $(r_n)_{n\in\Nn}$ convergente de limite $\lambda$ .

Maintenant, l’application $\begin{array}{cccc}N~:&(E,N)&\rightarrow&(\Rr,|\;|)\\ &x&\mapsto&N(x) \end{array}$ est continue sur $E$ car $1$ -Lipschitzienne sur $E$ . Donc

$B(\lambda x,y) =B(\lim_{n \rightarrow +\infty}r_nx,y)=\lim_{n \rightarrow +\infty}B(r_nx,y)=\lim_{n \rightarrow +\infty}r_nB(x,y)=\lambda B(x,y)$ .

Finalement, l’application $B$ est une forme bilinéaire symétrique définie positive et donc un produit scalaire. Puisque $\forall x\in E$ , $N(x)=\sqrt{B(x,x)}$ , $N$ est la norme associée à ce produit scalaire. On a montré que

toute norme vérifiant l’identité du parallélogramme est une norme hilbertienne.

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