Soit \(\left(E,\;|\;\right)\) un espace vectoriel de dimension \(n\).
1
Soient \(F\) et \(G\) des sous-espace vectoriels de \(E\). Montrer que \(\left(F\cap G\right)^\perp=F^\perp+G^\perp\).
2
Soient \(\mathcal{B}=(e_1,...,e_n)\) une base orthonormale de \(E\) et \((a_1,...,a_n)\in\Rr^n\setminus \left\{(0,...,0)\right\}\) et \(H\) le sous-espace vectoriel de \(E\) d’équation cartésienne \(\sum_{k=1}^{n}a_kx_k=0\) dans \(\mathcal{B}.\)
3
Déterminer l’orthogonale de \(H\).
4
Déterminer la distance du vecteur \(x=\sum_{k=1}^{n}x_ke_k\) de \(E\) au sous-espace vectoriel \(H\).