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Soient $F$ et $G$ des sous-espace vectoriels de $E$. Montrer que $\left(F\cap G\right)^\perp=F^\perp+G^\perp$.

Soient $\mathcal{B}=(e_1,...,e_n)$ une base orthonormale de $E$ et $(a_1,...,a_n)\in\Rr^n\setminus \left\{(0,...,0)\right\}$ et $H$ le sous-espace vectoriel de $E$ d’équation cartésienne $\sum_{k=1}^{n}a_kx_k=0$ dans $\mathcal{B}.$

Déterminer l’orthogonale de $H$.

Déterminer la distance du vecteur $x=\sum_{k=1}^{n}x_ke_k$ de $E$ au sous-espace vectoriel $H$.