Soit $(i,j,k)$ une base orthonormée directe de $\Rr^3$ euclidien orienté. Posons $u = f(i)$ , $v = f(j)$ et $w = f(k)$ . Nécessairement, $u\wedge v =f(i)\wedge f(j) = f(i\wedge j) = f(k) = w$ et de même $v\wedge w = u$ et $w\wedge u = v$ .

1er cas. Si l’un des vecteurs $u$ ou $v$ ou $w$ est nul alors $u = v = w = 0$ et donc $f = 0$ . Réciproquement, l’application nulle convient.

2ème cas. Si les trois vecteurs $u$ , $v$ et $w$ sont non nuls alors $u\wedge v\neq 0$ et donc la famille $(u,v)$ est libre. Mais alors la famille $(u,v,w)$ est une base directe de $\Rr^3$ .

Ensuite $w = u\wedge v$ est orthogonal à $u$ et $v$ et $v = w\wedge u$ est orthogonal à $u$ . On en déduit que la famille $(u,v,w)$ est une base orthogonale directe de $\Rr^3$ .

Enfin, puisque $u$ et $v$ sont orthogonaux, $\|w\|=\|u\wedge v\| =\|u\|\|v\|$ et de même $\|u\|=\|v\|\|w\|$ et $\|v\|=\|u\|\|w\|$ . Puis $\|u\|\|v\|\|w\|= (\|u\|\|v\|\|w\|)^2$ et donc, puisque les vecteurs $u$ , $v$ et $w$ sont non nuls, $\|u\|\|v\|\|w\| = 1$ . Les égalités $\|u\|\|v\|\|w\| = 1$ et $\|u\|=\|v\|\|w\|$ fournissent $\|u\|^2 = 1$ et de même $\|v\|^2 =\|w\|^2 = 1$ .

Finalement, la famille $(u,v,w)$ est une base orthonormée directe.

En résumé, l’image par $f$ d’une certaine base orthonormée directe de $\Rr^3$ est une base orthonormée directe de $\Rr^3$ et on sait que $f$ est un automorphisme orthogonal positif de $\Rr^3$ c’est-à-dire une rotation de $\Rr^3$ .

Réciproquement, si $f$ est la rotation d’angle $\theta$ autour du vecteur unitaire $e_3$ . On considère $e_1$ et $e_2$ deux vecteurs de $\Rr^3$ tels que la famille $(e_1,e_2,e_3)$ soit une base orthonormée directe.

Pour vérifier que $f$ est solution, par linéarité, il suffit de vérifier les $9$ égalités : $\forall(i,j)\in\{1,2,3\}^2$ , $f(e_i\wedge e_j)=f(e_i)\wedge f(e_j)$ . Pour vérifier ces $9$ égalités, il suffit se réduisent en fin de compte d’en vérifier $2$ :

$f(e_1)\wedge f(e_2)= e_3 = f(e_3) = f(e_1\wedge e_2)$ et $f(e3)\wedge f(e1) = e_3\wedge f(e_1) = f(e_2) = f(e_3\wedge e_1)$ .

Les endomorphismes cherchés sont donc l’application nulle et les rotations de $\Rr^3$ .

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