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Montrer que $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathcal{M}_n(\C)$ et exprimer, pour $M,H\in \mathcal{M}_n(\C)$, $d f_M(H)$ sous forme d’une série.

Montrer qu’il existe un voisinage $V$ de $0$ dans $\mathcal{M}_n(\C)$ tel que pour toutes matrices $A,B\in V$ on a :

$\exp(A) = \exp(B) \Rightarrow A=B$.

Trouver une suite $(M_k)$ de matrices de $\mathcal{M}_2(\C)$ distinctes ayant même exponentielle et convergeant vers une matrice $A$ (donc il n’existe pas de voisinage de $A$ sur lequel la restriction de $f$ est injective).

Donner de même un point de non injectivité locale dans $\mathcal{M}_2(\R)$.