Soit \(f : {\mathcal{M}_n(\C)} \to {\mathcal{M}_n(\C)}, M \mapsto {\exp(M).}\)
1
Montrer que \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(\mathcal{M}_n(\C)\) et exprimer, pour \(M,H\in \mathcal{M}_n(\C)\), \(d f_M(H)\) sous forme d’une série.
2
Montrer qu’il existe un voisinage \(V\) de \(0\) dans \(\mathcal{M}_n(\C)\) tel que pour toutes matrices \(A,B\in V\) on a :
\(\exp(A) = \exp(B) \Rightarrow A=B\).
3
Trouver une suite \((M_k)\) de matrices de \(\mathcal{M}_2(\C)\) distinctes ayant même exponentielle et convergeant vers une matrice \(A\) (donc il n’existe pas de voisinage de \(A\) sur lequel la restriction de \(f\) est injective).
4
Donner de même un point de non injectivité locale dans \(\mathcal{M}_2(\R)\).