On cherche d’abord les points stationnaires dans l’intérieur de $K$ : la fonction $f$ n’est pas dérivable en $(0,0)$ , on calcule les dérivées partielles en $(x,y) \in \overset{\circ}{K} \backslash \{(0,0)\} = \{(x,y)\in \R^2 \mid 0< x^2+y^2 < 16\}$ : $\begin{align*} \begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = 0\\ \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) =0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}+2x = 0\\ \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} =0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \frac{x}{|x|} + 2x = 0\\ y =0 \end{cases} \end{align*}$ Il n’y a aucune solution à ce système d’équations (si $x>0$ alors $1+2x>0$ et si $x<0$ alors $-1+2x=0$ ). Donc $f$ n’admet pas de points stationnaires sur $\overset{\circ}{K} \backslash \{(0,0)\}$ .

La fonction $f$ n’a donc d’autre choix que d’atteindre ses bornes en $(0,0)$ ou bien sur la frontière du domaine $K$ .

Or $f(0,0) = -3$ et pour tout $(x,y) \in K$ , $\sqrt{x^2+y^2}+x^2 \geq 0$ donc $f(x,y) \geq -3 = f(0,0)$ . On en déduit que $f$ atteint son minimum en $(0,0)$ et ce minimum vaut $-3$ .

D’autre part, la frontière de $K$ est le cercle d’équation $x^2+y^2=16$ , sur lequel $f(x,y) = 1+x^2$ . On en déduit que le maximum est atteint si $x \in \{-4,4\}$ , ce qui impose $y=0$ . Le maximum est donc atteint aux points $(-4,0)$ et $(4,0)$ , la valeur de ce maximum est $17$ .

Etude d'extrema