Soit \(G\) un groupe fini et \(H,K\) deux sous-groupes de \(G\). On considère l’application \(\phi : {H\times K} \to G, {(h,k)} \mapsto {hk}\)
1
Est-ce que \(\phi\) est un morphisme de groupes ?
2
Soit \(z \in HK\), \(z=h_0k_0\) avec \(h_0 \in H\) et \(k_0 \in K\).
Montrer que les antécédents de \(z\) par \(\phi\) sont les couples \((h_0t,t^{-1}k_0)\) avec \(t \in H \cap K\).
3
En déduire que : \(\mathrm{Card}\,(HK)\mathrm{Card}\,(H\cap K) = \mathrm{Card}\,(H)\mathrm{Card}\,(K)\).
4
Montrer que : (\(HK\) est un sous-groupe de \(G\)) \(\iff\) (\(HK \subset KH\)) \(\iff\) (\(HK = KH\)).