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Est-ce que $\phi$ est un morphisme de groupes ?

Soit $z \in HK$, $z=h_0k_0$ avec $h_0 \in H$ et $k_0 \in K$.

Montrer que les antécédents de $z$ par $\phi$ sont les couples $(h_0t,t^{-1}k_0)$ avec $t \in H \cap K$.

En déduire que : $\mathrm{Card}\,(HK)\mathrm{Card}\,(H\cap K) = \mathrm{Card}\,(H)\mathrm{Card}\,(K)$.

Montrer que : ($HK$ est un sous-groupe de $G$) $\iff$ ($HK \subset KH$) $\iff$ ($HK = KH$).