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Soient $n,p \in \N^*$ et $\mathbb{U}_n$ le groupe des racines $n$ -èmes de 1.

Calculer $\sum_{x \in \mathbb{U}_n} x^p$ .

Soit $P$ un polynôme à coefficients complexes de degré inférieur ou égal à $n-1$ et $M = \max\{|P(x)|,\ x \in\mathbb{U}_n\}$ . Montrer que tous les coefficients de $P$ sont bornés par $M$ .