La méthode d’Euler explicite est convergente et consistante d’ordre 1. On considère l’approximation suivante : \[\int_{t_n}^{t_{n+1}}f(s,y(s))ds \approx h\cdot f\left( t_n+\frac{h}{2},y\left( t_n+\frac{h}{2} \right) \right).\]
La méthode qui en découle s’écrit donc sous la forme \[y_{n+1} = y_n + h\cdot f\left( t_n + \frac{h}{2},y_{n+1/2} \right)\] où \(y_{n+1/2}\) reste à définir sous la forme \[y_{n+1/2} = y_n + \frac{h}{2}G(t_n,y_n,h)\]
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Déterminer une fonction \(G\) permettant à ce schéma d’être consistant d’ordre 2.