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Soit une application \(A\) de classe \(\mathcal{C}^\infty\) sur \(\R\) à valeurs dans \(\mathcal{M}_n(\C)\), telle que les valeurs propres de \(A(0)\) aient toutes une partie réelle strictement positive. Soit \(F\) de classe \(\mathcal{C}^\infty\) sur \(\R\), à valeurs dans \(\C^n\). Montrer qu’il existe \(X\) de classe \(\mathcal{C}^\infty\) sur \(\R\), à valeurs dans \(\C^n\), solution de \(tX'(t) + A(t)X(t) = F(t)\).
Indication : commencer par le cas \(n=1\), \(A\) constante.