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Soit une application $A$ de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $\R$ à valeurs dans $\mathcal{M}_n(\C)$, telle que les valeurs propres de $A(0)$ aient toutes une partie réelle strictement positive. Soit $F$ de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $\R$, à valeurs dans $\C^n$. Montrer qu’il existe $X$ de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $\R$, à valeurs dans $\C^n$, solution de $tX'(t) + A(t)X(t) = F(t)$.

Indication : commencer par le cas $n=1$, $A$ constante.