L2 Analyse Equation différentielle Prépa MPSI · MP2I Prépa PCSI Prépa PTSI Prépa BCPST Prépa MP · MPI Prépa PSI Prépa PT 4 questions

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Soient $r$ et $q$ deux fonctions continues définies sur $I={[a,b]}$ telles que : $\forall\ x\in I,\ r(x)\ge q(x)$ . On considère les équations différentielles : $(E_1)\Leftrightarrow y'' + qy = 0, \qquad (E_2)\Leftrightarrow z'' + rz = 0.$

Soit $y$ une solution de $(E_1)$ et $x_0,x_1$ deux zéros consécutifs de $y$ . $y'(x_0)$ et $y'(x_1)$ peuvent-ils être nuls ? Que dire de leurs signes ?

Soit $z$ une solution de $(E_2)$ . On considère $W(x) = \begin{vmatrix}y(x)&z(x)\cr y'(x)&z'(x)\cr\end{vmatrix}$ . Calculer $W'(x)$ et $W(x_1)-W(x_0)$ .

Montrer que $z$ a un zéro dans $]x_0,x_1[$ ou $z(x_0)=z(x_1)=0$ .

Soit $u$ une solution de $(E_1)$ . Montrer que $u$ est soit proportionnelle à $y$ , soit admet un unique zéro dans $]x_0,x_1[$ .