Soient \(r\) et \(q\) deux fonctions continues définies sur \(I={[a,b]}\) telles que : \(\forall\ x\in I,\ r(x)\ge q(x)\). On considère les équations différentielles : \[(E_1)\Leftrightarrow y'' + qy = 0, \qquad (E_2)\Leftrightarrow z'' + rz = 0.\]
Soit \(y\) une solution de \((E_1)\) et \(x_0,x_1\) deux zéros consécutifs de \(y\). \(y'(x_0)\) et \(y'(x_1)\) peuvent-ils être nuls ? Que dire de leurs signes ?
Soit \(z\) une solution de \((E_2)\). On considère \(W(x) = \begin{vmatrix}y(x)&z(x)\cr y'(x)&z'(x)\cr\end{vmatrix}\). Calculer \(W'(x)\) et \(W(x_1)-W(x_0)\).
Montrer que \(z\) a un zéro dans \(]x_0,x_1[\) ou \(z(x_0)=z(x_1)=0\).
Soit \(u\) une solution de \((E_1)\). Montrer que \(u\) est soit proportionnelle à \(y\), soit admet un unique zéro dans \(]x_0,x_1[\).