Soient \(y,z\) solutions de \(\begin{cases} y' = f(y,t)\cr z'=g(z,t)\cr y(0) = z(0) \cr \end{cases}\) où \(f\),\(g\) sont deux fonctions localement lipschitziennes telles que : \[\begin{cases} \forall\ u,t,\ f(u,t) \le g(u,t) \cr \forall\ u,v,t,\ u \le v \Rightarrow f(u,t) \le f(v,t).\cr \end{cases}\]
1
Pour \(\varepsilon > 0\), on note \(z_\varepsilon\) la solution de \(\begin{cases} z'_\varepsilon = g(z_\varepsilon,t) + \varepsilon \cr z_\varepsilon(0) = y(0).\cr\end{cases}\)
Montrer que \(z_\varepsilon \ge y\) (sur leur domaine commun de définition).
2
Démontrer que \(z_\varepsilon \to z\) lorsque \(varepsilon\to0^+\) uniformément sur tout intervalle borné. Conclusion ?