L2 Analyse Equation différentielle Prépa PCPrépa PSI 2 questions

exo7 4127

Soient y,zy,z solutions de {y′=f(y,t)z′=g(z,t)y(0)=z(0)\begin{cases} y' = f(y,t)\cr z'=g(z,t)\cr y(0) = z(0) \cr \end{cases} où ff,gg sont deux fonctions localement lipschitziennes telles que : {∀ u,t, f(u,t)≤g(u,t)∀ u,v,t, u≤v⇒f(u,t)≤f(v,t).\begin{cases} \forall\ u,t,\ f(u,t) \le g(u,t) \cr \forall\ u,v,t,\ u \le v \Rightarrow f(u,t) \le f(v,t).\cr \end{cases}

1

Pour ε>0\varepsilon > 0, on note zεz_\varepsilon la solution de {zε′=g(zε,t)+εzε(0)=y(0).\begin{cases} z'_\varepsilon = g(z_\varepsilon,t) + \varepsilon \cr z_\varepsilon(0) = y(0).\cr\end{cases}

Montrer que zε≥yz_\varepsilon \ge y (sur leur domaine commun de définition).

2

Démontrer que zε→zz_\varepsilon \to z lorsque varepsilon→0+varepsilon\to0^+ uniformément sur tout intervalle borné. Conclusion ?

Exercice YrVJ

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