Déjà, si l’on munit \(\R^n\) et \(\R_n[X]\) de normes convenables, \(f\) est une isométrie bicontinue donc \(f(\overline\Omega) = \overline{f(\Omega)}\). Montrons que \(\overline{f(\Omega)}\) est l’ensemble \(\cal S\) des polynômes de \(\R_n[X]\) unitaires et scindés sur \(\R\).

Si \(P = X^n + a_{n-1}X^{n-1} + \dots + a_0\), notons \(M(P)\) la matrice compagne de \(P\).

Si \(P\in\cal S\) alors \(M(P)\) est \(\R\)-trigonalisable, donc limite de matrices à valeurs propres réelles distinctes. Les polynômes caractéristiques de ces matrices, au signe près, appartienent à \(f(\Omega)\) et convergent vers \(P\) d’où \({\cal S} \subset \overline{f(\Omega)}\).

Si \((P_k)\) est une suite de polynômes de \(f(\Omega)\) convergeant vers \(P\) alors il existe une suite \((O_k)\) de matrices orthogonales telle que \({}^tO_kM(P_k)O_k\) est triangulaire supérieure (méthode de Schmidt). Quitte à extraire une sous-suite, on peut supposer que \(O_k\) converge vers une matrice orthogonale \(O\) et donc \({}^tOM(P)O\) est aussi triangulaire supérieure ce qui implique que \(P\in\cal S\).

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