Cet exercice comporte deux parties indépendantes.
Partie A — Équation différentielle du second ordre.
On considère l’équation différentielle :
\[(E') \;:\quad y''(x) - y'(x) - 2\,y(x) = 2x - 1.\]
Résoudre l’équation homogène associée \((H') : y'' - y' - 2y = 0\).
Déterminer une solution particulière de \((E')\) en cherchant une solution de la forme \(y_P(x) = ax + b\).
En déduire la solution générale de \((E')\) sur \(\mathbb{R}\).
Partie B — Intégrale double.
On considère le domaine :
\[D = \left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \;\middle|\;
y \geq 0,\quad y \leq x,\quad x^2+y^2 \geq 1,\quad x^2+y^2 \leq 4\right\}.\]
Représenter la région \(D\).
Calculer \(\displaystyle I = \iint_D (x^2+y^2)\;dx\,dy\). On pourra utiliser un changement de variables en coordonnées polaires.