On considère l’équation différentielle \((E)\) : \(ax^2y''+bxy'+cy= 0\) (\(a\), \(b\), \(c\) réels, \(a\neq0\)) pour \(x\in]0,+\infty[\).
1
Soit \(y\) une fonction deux fois dérivable sur \(]0,+\infty[\). Pour \(t\in\Rr\), on pose \(z(t)=y(e^t)\). Vérifier que \(y\) est deux fois dérivable sur \(]0,+\infty[\) si et seulement si \(z\) est deux fois dérivable sur \(\Rr\).
2
Effectuer le changement d’inconnue précédent dans l’équation différentielle \((E)\) et vérifier que la résolution de \((E)\) se ramène à la résolution d’une équation linéaire du second ordre à coefficients constants.
3
Résoudre sur \(]0,+\infty[\), l’équation différentielle \(x^2y''-xy'+y=0\).