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Soit $y$ une fonction deux fois dérivable sur $]0,+\infty[$. Pour $t\in\Rr$, on pose $z(t)=y(e^t)$. Vérifier que $y$ est deux fois dérivable sur $]0,+\infty[$ si et seulement si $z$ est deux fois dérivable sur $\Rr$.

Effectuer le changement d’inconnue précédent dans l’équation différentielle $(E)$ et vérifier que la résolution de $(E)$ se ramène à la résolution d’une équation linéaire du second ordre à coefficients constants.

Résoudre sur $]0,+\infty[$, l’équation différentielle $x^2y''-xy'+y=0$.