On suppose que \(f\) est bornée par \(M\) et \(|f(y,s)-f(z,t)| \le K(|y-z|+|s-t|)\). On divise \([a,b]\) en \(n\) intervalles \([a_k, a_{k+1}]\), \(a_k = a + k\frac {b-a}n\) et on approche la solution \(y\) par la fonction \(z\), continue affine par morceaux définie par : \[\begin{cases} z(a_0) = y_0 \cr \text{sur } ]a_k, a_{k+1}[,\ z' = f(z(a_k),a_k). \cr\end{cases}\]
1
Soit \(\varepsilon_k = |z(a_k) - y(a_k)|\). Montrer que : \(\forall\ t \in {[a_k, a_{k+1}]},\quad |y(t)-z(t)| \le kh^2(M+1) + (1+Kh)\varepsilon_k\) \(\Bigl(h = \frac {b-a}n \Bigr)\).
2
En déduire que \(\sup|y-z| \le (M+1)(e^{K(b-a)}-1) \frac {b-a}n\).