Supposons que $a^n + 1$ est premier. Nous allons montrer la contraposée. Supposons que $n$ n’est pas de la forme $2^k$ , c’est-à-dire que $n=p\times q$ avec $p$ un nombre premier $>2$ et $q\in\Nn$ . Nous utilisons la formule $x^p+1 = (x+1)(1-x+x^2-x^3+\ldots+x^{p-1})$ avec $x = a^q$ : $a^n+1 = a^{pq}+1 = (a^q)^p+1 = (a^q+1)(1-a^q+(a^q)^2+\cdots+(a^q)^{p-1}).$ Donc $a^q+1$ divise $a^n+1$ et comme $1 < a^q+1 < a^{n}+1$ alors $a^n+1$ n’est pas premier. Par contraposition si $a^n+1$ est premier alor $n = 2^k$ . Cette conjecture est fausse, mais pas facile à vérifier sans une bonne calculette ! En effet pour $n=5$ nous obtenons : $2^{2^5} + 1 = 4294967297 = 641 \times 6700417.$

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