Supposons que \(a^n + 1\) est premier. Nous allons montrer la contraposée. Supposons que \(n\) n’est pas de la forme \(2^k\), c’est-à-dire que \(n=p\times q\) avec \(p\) un nombre premier \(>2\) et \(q\in\Nn\). Nous utilisons la formule \[x^p+1 = (x+1)(1-x+x^2-x^3+\ldots+x^{p-1})\] avec \(x = a^q\) : \[a^n+1 = a^{pq}+1 = (a^q)^p+1 = (a^q+1)(1-a^q+(a^q)^2+\cdots+(a^q)^{p-1}).\] Donc \(a^q+1\) divise \(a^n+1\) et comme \(1 < a^q+1 < a^{n}+1\) alors \(a^n+1\) n’est pas premier. Par contraposition si \(a^n+1\) est premier alor \(n = 2^k\). Cette conjecture est fausse, mais pas facile à vérifier sans une bonne calculette ! En effet pour \(n=5\) nous obtenons : \[2^{2^5} + 1 = 4294967297 = 641 \times 6700417.\]

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