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Soit \(E\) le \(\Rr\)-espace vectoriel des applications de \([0,1]\) dans \(\Rr\) (muni de \(f+g\) et \(\lambda.f\) usuels) (ne pas hésiter à redémontrer que \(E\) est un \(\Rr\) espace vectoriel). Soit \(F\) l’ensemble des applications de \([0,1]\) dans \(\Rr\) vérifiant l’une des conditions suivantes :
\[\begin{array}{llll} 1)\;f(0)+f(1)=0&2)\;f(0)=0&3)\;f(\frac{1}{2})=\frac{1}{4}&4)\;\forall x\in[0,1],\;f(x)+f(1-x)=0\\ 5)\;\forall x\in[0,1],\;f(x)\geq0&6)\;2f(0)=f(1)+3 \end{array}\]
Dans quel cas \(F\) est-il un sous-espace vectoriel de \(E\) ?