Soit \(E\) l’espace vectoriel des matrices carrées réelles d’ordre 2.
Montrer que les “vecteurs" \[I = \left( \begin{array}{cc} 1&0\\ 0&1 \end{array} \right), \, J = \left( \begin{array}{cc} 0&1 \\ -1&0 \end{array} \right), \, K = \left( \begin{array}{cc} 0&1 \\ 1&0 \end{array} \right), \, L = \left( \begin{array}{cc} 1&0 \\ 0&-1 \end{array} \right)\] de \(E\) sont linéairement indépendants.
Montrer que tout élément \(X = \left( \begin{array}{cc} a&b\\ c&d \end{array} \right)\) de \(E\) s’écrit de façon unique sous la forme \(X = x_1 I + x_2 J + x_3 K + x_4 L\) et calculer \(x_1, x_2, x_3, x_4\) en fonction de \(a,b,c,d\).
Vérifier la relation \(J^2 = -I\). Calculer \(JX\) et \(XJ\). Montrer que l’équation \(XJ = JX\) est équivalente à \(x_3 = x_4 = 0\). En déduire que le sous-espace de \(E\) engendré par \(I, J\) est isomorphe au corps des complexes \(\mathbb C\).