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Montrer que les “vecteurs" $$I = \left( \begin{array}{cc} 1&0\\ 0&1 \end{array} \right), \, J = \left( \begin{array}{cc} 0&1 \\ -1&0 \end{array} \right), \, K = \left( \begin{array}{cc} 0&1 \\ 1&0 \end{array} \right), \, L = \left( \begin{array}{cc} 1&0 \\ 0&-1 \end{array} \right)$$ de $E$ sont linéairement indépendants.

Montrer que tout élément $X = \left( \begin{array}{cc} a&b\\ c&d \end{array} \right)$ de $E$ s’écrit de façon unique sous la forme $X = x_1 I + x_2 J + x_3 K + x_4 L$ et calculer $x_1, x_2, x_3, x_4$ en fonction de $a,b,c,d$.

Vérifier la relation $J^2 = -I$. Calculer $JX$ et $XJ$. Montrer que l’équation $XJ = JX$ est équivalente à $x_3 = x_4 = 0$. En déduire que le sous-espace de $E$ engendré par $I, J$ est isomorphe au corps des complexes $\mathbb C$.