Dans \(\Rr^4\) on considère les quatre vecteurs \[v_1=(1,0,-1,1),\ \ v_2=(2,1,0,1), \ \ v_3 =(1,1,1,0), \ \ v_4=(3,1,-1,2).\] Soit \(V=Vect(v_1,v_2,v_3,v_4)\). De plus, soit \[H=\{(x,y,z,t)\in\Rr^4 \ / \ \ -3x+y+2z-t=0 \}.\]
1
Montrer que \(\dim V =2\). Le systême \((v_1,v_2,v_3,v_4)\) est-il libre? Est-il générateur de \(\Rr^4\)?
2
Donner une base de \(V\), la compléter en une base de \(\Rr^4\).
3
Calculer des équations cartésiennes pour \(V\).
4
Montrer que \(H\) est un sous-espace vectoriel de \(\Rr^4\).
5
Trouver une représentation paramétrique de \(H\), et en déduire une base de \(H\). Que vaut \(\dim H\)?
6
Montrer que \(v_3\in H\) et que \(v_1\notin H\). En déduire \(\dim(V\cap H)\) et \(\dim(V+H)\).
7
Donner une base de \(V\cap H\).