$\begin{align*} & (x,1,y,1) \in \text{Vect}\{v_1,v_2\} \\ \iff& \exists \lambda,\mu\in \Rr \qquad (x,1,y,1) = \lambda(1,2,3,4)+\mu(1,-2,3,-4) \\ \iff& \exists \lambda,\mu\in \Rr \qquad (x,1,y,1) = (\lambda,2\lambda,3\lambda,4\lambda)+(\mu,-2\mu,3\mu,-4\mu) \\ \iff& \exists \lambda,\mu\in \Rr \qquad (x,1,y,1) = (\lambda+\mu,2\lambda-2\mu,3\lambda+3\mu,4\lambda-4\mu) \\ \implies& \exists \lambda,\mu\in \Rr \qquad 1 = 2(\lambda-\mu) \text{ et } 1=4(\lambda-\mu) \\ \implies& \exists \lambda,\mu\in \Rr \qquad \lambda-\mu= \frac 12 \text{ et } \lambda-\mu=\frac14 \\ \end{align*}$ Ce qui est impossible (quelque soient $x,y$ ). Donc on ne peut pas trouver de tels $x,y$ . On fait le même raisonnement : $\begin{align*} & (x,1,1,y) \in \text{Vect}\{v_1,v_2\} \\ iff&\ \exists \lambda,\mu\in \Rr \qquad (x,1,1,y) = (\lambda+\mu,2\lambda-2\mu,3\lambda+3\mu,4\lambda-4\mu) \\ \iff& \exists \lambda,\mu\in \Rr \qquad \begin{cases} x &= \lambda + \mu \\ 1 &= 2\lambda -2\mu \\ 1 &= 3\lambda +3\mu \\ y &= 4\lambda -4 \mu \\ \end{cases} \\ \iff& \exists \lambda,\mu\in \Rr \qquad \begin{cases} \lambda &= \frac 5{12} \\ \mu &= -\frac1{12} \\ x &= \frac 13 \\ y &= 2 \\ \end{cases}.\\ \end{align*}$ Donc le seul vecteur $(x,1,1,y)$ qui convienne est $(\frac13,1,1,2)$ .

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