Montrons que \(V\) est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel des applications de \(\Rr\) dans \(\Rr\). \(V\) est déjà non vide car contient la fonction nulle \((0=0-0)\).

Soit \((f_1,f_2)\in V^2\). Il existe \((g_1,g_2,h_1,h_2)\in C^4\) tel que \(f_1=g_1-h_1\) et \(f_2=g_2-h_2\). Mais alors, \(f_1+f_2=(g_1+g_2)-(h_1+h_2)\). Or, une somme de fonctions croissantes sur \(\Rr\) est croissante sur \(\Rr\), et donc, \(g_1+g_2\) et \(h_1+h_2\) sont des éléments de \(C\) ou encore \(f_1+f_2\) est dans \(V\).

Soit \(f\in V\) et \(\lambda\in\Rr\). Il existe \((g,h)\in V^2\) tel que \(f=g-h\) et donc \(\lambda f=\lambda g-\lambda h\).

Si \(\lambda\geq 0\), \(\lambda g\) et \(\lambda h\) sont croissantes sur \(\Rr\) et \(\lambda f\) est dans \(V\).

Si \(\lambda<0\), on écrit \(\lambda f=(-\lambda h)-(-\lambda g)\), et puisque \(-\lambda g\) et \(-\lambda h\) sont croissantes sur \(\Rr\), \(\lambda f\) est encore dans \(V\). \(V\) est donc un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel des applications de \(\Rr\) dans \(\Rr\).

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