Montrons que $V$ est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel des applications de $\Rr$ dans $\Rr$ . $V$ est déjà non vide car contient la fonction nulle $(0=0-0)$ .

Soit $(f_1,f_2)\in V^2$ . Il existe $(g_1,g_2,h_1,h_2)\in C^4$ tel que $f_1=g_1-h_1$ et $f_2=g_2-h_2$ . Mais alors, $\Rr$ . Or, une somme de fonctions croissantes sur $\Rr$ est croissante sur $\Rr$ , et donc, $g_1+g_2$ et $h_1+h_2$ sont des éléments de $C$ ou encore $f_1+f_2$ est dans $V$ .

Soit $f\in V$ et $\lambda\in\Rr$ . Il existe $(g,h)\in V^2$ tel que $f=g-h$ et donc $\lambda f=\lambda g-\lambda h$ .

Si $\lambda\geq 0$ , $\lambda g$ et $\lambda h$ sont croissantes sur $\Rr$ et $\lambda f$ est dans $V$ .

Si $\lambda<0$ , on écrit $\lambda f=(-\lambda h)-(-\lambda g)$ , et puisque $-\lambda g$ et $-\lambda h$ sont croissantes sur $\Rr$ , $\lambda f$ est encore dans $V$ . $V$ est donc un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel des applications de $\Rr$ dans $\Rr$ .

exo7 5175