$f_\lambda'(x) = \lambda e^x+2x$ , $f_\lambda''(x) = \lambda e^x+2$ . Les points d’inflexion sont les racines de $f_\lambda''$ , donc si $\lambda \geq 0$ il n’y a pas de point d’inflexion, si $\lambda < 0$ alors il y a un point d’inflexion en $x_\lambda = \ln(-2/\lambda)$ . Si $\lambda \geq 0$ alors $f_\lambda''$ est toujours strictement positive, donc $f_\lambda'$ est strictement croissante, en $-\infty$ la limite de $f_\lambda'$ est $-\infty$ , en $+\infty$ la limite de $f_\lambda'$ est $+\infty$ , donc il existe un unique réel $y_\lambda$ tel que $f'_\lambda(y_\lambda)=0$ . $f_\lambda$ est décroissante sur $]-\infty,y_\lambda]$ et croissante sur $[y_\lambda, +\infty[$ . Et en $y_\lambda$ nous avons un minimum absolu. Nous supposons $\lambda < 0$ . Alors $f_\lambda''$ s’annule seulement en $x_\lambda$ . $f_\lambda'$ est croissante sur $]-\infty,x_\lambda]$ et décroissante sur $[x_\lambda, +\infty[$ . Donc $f_\lambda'$ a des racines si et seulement si $f'(x_\lambda) \geq 0$ . Or $f'(x_\lambda) = -2+2x_\lambda$ . Si $\lambda = -2/e$ alors $f_\lambda'(x_\lambda) = 0$ . Comme $f_\lambda''(x_\lambda)=0$ et $f_\lambda'''$ ne s’annule pas alors $x_\lambda$ est un point d’inflexion qui n’est pas un extremum local. Si $\lambda>-2/e$ alors $f_\lambda'(x_\lambda) <0$ donc $f_\lambda'$ est négative donc $f$ est strictement décroissante. Il n’y a pas d’extremum local. Si $-2/e<\lambda<0$ alors $f_\lambda'(x_\lambda) > 0$ . Donc $f_\lambda'$ s’annule en deux points, une fois sur $]-\infty,x_\lambda[$ et une sur $]x_\lambda,+\infty[$ . Ce sont des extremums locaux (minimum et maximum respectivement).

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