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Montrer que deux formes quadratiques équivalentes sur un espace $E$ prennent les mêmes valeurs dans $k$.

Soit $(E,f)$ un espace muni d’une forme bilinéaire symétrique non dégénérée de forme quadratique associée $q$. Montrer que si $f$ admet un vecteur non nul isotrope, la forme $q$ prend toutes les valeurs de $k$.

Montrer que $E$ se décompose comme somme directe orthogonale de plans hyperboliques et d’un sous-espace sur lequel la forme quadratique n’a pas de vecteur isotrope non nul.

Montrer que le nombre de plans hyperboliques dans une telle décomposition est indépendant de la décomposition. Le décrire à l’aide d’un invariant défini en cours.