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Soit $u\in GL(E)$ une involution. Montrer que $u$ est orthogonale si et seulement si $E_+(u)=E_+:=Ker (u-Id)$ et $E_-:=Ker(u+Id)$ sont orthogonaux. Montrer alors que $(E_+)^\perp = E_-$ et que $E_+$ n’est pas isotrope.

Soit $F\subset E$ un sous-espace non isotrope. Montrer qu’il existe une unique involution orthogonale telle que $E_+(u)=F$.

Montrer que $O(f)\equiv SO(f)\rtimes \{-1,1\}$.