Soit \((E,q)\) un espace vectoriel muni d’une forme quadratique \(q\) non dégénérée.
Montrer que si \(q(x)=q(y)\not=0\) alors l’un des deux vecteurs \(x+y\) et \(x-y\) est non isotrope.
Montrer que si \(F\) est non singulier de dimension au moins \(2\), on peut écrire \(F=F_1\oplus^\perp F_2\) avec \(F_i\) non singulier de dimension \(\dim F_i<\dim F\).
Soit \(F=F_1\oplus^\perp F_2\) (\(F_i\) non singulier) et soit \(u~:F\to F'\) une isométrie. Soit \(v~: E\to E\) une isométrie qui coïncide avec \(u\) sur \(F_1\).. Soit \(F'_1=u(F_1)\). Montrer que \({F'_1}^\perp\) contient \(u(F_2)\) et \(v(F_2)\) et que \(u\circ v^{-1}~: v(F_2)\to u(F_2)\) est une isométrie.
Démontrer le théorème de Witt
Soit \(F\) et \(F'\) deux sous espaces de \((E,q)\) (\(q\) non dégénérée) et \(u~: (F,q_{|F})\to (F',q_{|F'})\) une isométrie. Montrer qu’il existe une isométrie de \(E\) qui prolonge \(u\).