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Montrer que si $q(x)=q(y)\not=0$ alors l’un des deux vecteurs $x+y$ et $x-y$ est non isotrope.

Montrer que si $F$ est non singulier de dimension au moins $2$, on peut écrire $F=F_1\oplus^\perp F_2$ avec $F_i$ non singulier de dimension $\dim F_i<\dim F$.

Soit $F=F_1\oplus^\perp F_2$ ($F_i$ non singulier) et soit $u~:F\to F'$ une isométrie. Soit $v~: E\to E$ une isométrie qui coïncide avec $u$ sur $F_1$.. Soit $F'_1=u(F_1)$. Montrer que ${F'_1}^\perp$ contient $u(F_2)$ et $v(F_2)$ et que $u\circ v^{-1}~: v(F_2)\to u(F_2)$ est une isométrie.

Démontrer le théorème de Witt

Soit $F$ et $F'$ deux sous espaces de $(E,q)$ ($q$ non dégénérée) et $u~: (F,q_{|F})\to (F',q_{|F'})$ une isométrie. Montrer qu’il existe une isométrie de $E$ qui prolonge $u$.