Soit \(\mathcal{Q}\) une quadrique de \(P(E)\) (muni d’un repère projectif) d’équation \(q(x)=0\) où \(q\) est la forme quadratique d’une forme bilinéaire symétrique non dégénérée \(f\) sur un espace vectoriel \(E\). Si \(\vec{A}\) et \(\vec{B}\) sont deux sous-espaces orthogonaux dans \(E\), on note \(P(\vec{A})\perp P(\vec{B})\). On appelle hyperplan polaire d’un point \(A=P(\vec{A})\) de \(P(E)\) l’hyperplan projectif \(A^\perp:=P(\vec{A}^\perp)\).
On munit de plan projectif d’un repère. Déterminer une équation de la droite polaire du point \(M(x_0,y_0,1)\) par rapport à la quadrique d’équation \(x^2+y^2-z^2=0\). La représenter dans l’espace affine d’équation \(z\not=0\).
Soit \(F\) un sous-espace non-isotrope de \(E\). Soit \(A\) et \(B\) deux points de \(P(F)\). Montrer si \(A\perp B\) pour \(f\) alors \(A\perp B\) pour \(f_{|F}\).
Soit \(\mathcal{Q}\) une quadrique de \(P^1(K)\) dont l’image est composée des deux points \(A\) et \(B\). Montrer en utilisant un bon repère que pour tout \(M\) in \(P^1(K)\), \[M\perp N\iff M \textrm{ et } N \textrm{ sont conjugués harmoniques par rapport à } M \textrm{ et } N.\]
En déduire une construction géométrique de la polaire d’un point par rapport à une conique.