L3 Algèbre et théorie des nombres Forme bilinéaire 7 questions

exo7 7822

Soit (E,q)(E,q) un espace vectoriel muni d’une forme quadratique non dégénérée qq. Un sous-espace vectoriel FF de EE est dit isotrope (ou singulier) si F⊥∩F≠{0}F^\perp\cap F\not= \{0\}.

Vérifier que si FF et GG sont deux sous-espaces orthogonaux avec GG non isotropes alors la somme F+GF+G est directe.

Soit FF un sous espace singulier de EE. On note ss la dimension de F⊥∩FF^\perp\cap F, GG un supplémentaire de F⊥∩FF^\perp\cap F dans FF et (xi)1≤i≤s(x_i)_{1\leq i\leq s} une base de F⊥∩FF^\perp\cap F.

1

Montrer que GG n’est pas isotrope.

2

Montrer que G⊥G^\perp contient strictement F⊥F^\perp.

3

On suppose que s=1s=1. Montrer qu’il existe un plan d’Artin P1P_1 contenant x1x_1 et tel que G⊕⊥P1G\oplus ^\perp P_1 soit non singulier.

4

Montrer qu’il existe des plans d’Artin (Pi,q∣Pi)(P_i,q_{|P_i}) contenant xix_i et tels que F^:=G⊕⊥P1⊕⊥P2⋯⊕⊥Ps\widehat{F}:=G\oplus^\perp P_1\oplus^\perp P_2\cdots \oplus^\perp P_s soit non singulier. (On pourra considérer G′:=G⊕⊥Vect(x1,x2,⋯ ,xs−1G':=G\oplus^\perp Vect(x_1,x_2,\cdots ,x_{s-1})

5

Soit FF un sous espace singulier de EE. Montrer que si HH est un sous espace non singulier qui contient FF alors dim⁡H≥dim⁡F+dim⁡F⊥∩F\dim H\geq \dim F+\dim F^\perp\cap F.

6

Montrer que tout espace quadratique non dégénéré qui contient un sous-espace totalement isotrope de dimension moitié est un espace d’Artin.

7

Montrer que toute isométrie u :F→F′u~:F\to F' se prolonge en une isométrie u^ :F^→F′^\widehat{u}~:\widehat{F}\to \widehat{F'} pour un bon choix de base de F⊥∩FF^\perp\cap F et F′⊥∩F′{F'}^\perp\cap F'

Exercice drzB

Signaler une erreur

  1. Problème
  2. Précisions
  3. Envoi
Quel est le problème ?