Soit \((E,q)\) un espace vectoriel muni d’une forme quadratique non dégénérée \(q\). Un sous-espace vectoriel \(F\) de \(E\) est dit isotrope (ou singulier) si \(F^\perp\cap F\not= \{0\}\).
Vérifier que si \(F\) et \(G\) sont deux sous-espaces orthogonaux avec \(G\) non isotropes alors la somme \(F+G\) est directe.
Soit \(F\) un sous espace singulier de \(E\). On note \(s\) la dimension de \(F^\perp\cap F\), \(G\) un supplémentaire de \(F^\perp\cap F\) dans \(F\) et \((x_i)_{1\leq i\leq s}\) une base de \(F^\perp\cap F\).
Montrer que \(G\) n’est pas isotrope.
Montrer que \(G^\perp\) contient strictement \(F^\perp\).
On suppose que \(s=1\). Montrer qu’il existe un plan d’Artin \(P_1\) contenant \(x_1\) et tel que \(G\oplus ^\perp P_1\) soit non singulier.
Montrer qu’il existe des plans d’Artin \((P_i,q_{|P_i})\) contenant \(x_i\) et tels que \(\widehat{F}:=G\oplus^\perp P_1\oplus^\perp P_2\cdots \oplus^\perp P_s\) soit non singulier. (On pourra considérer \(G':=G\oplus^\perp Vect(x_1,x_2,\cdots ,x_{s-1}\))
Soit \(F\) un sous espace singulier de \(E\). Montrer que si \(H\) est un sous espace non singulier qui contient \(F\) alors \(\dim H\geq \dim F+\dim F^\perp\cap F\).
Montrer que tout espace quadratique non dégénéré qui contient un sous-espace totalement isotrope de dimension moitié est un espace d’Artin.
Montrer que toute isométrie \(u~:F\to F'\) se prolonge en une isométrie \(\widehat{u}~:\widehat{F}\to \widehat{F'}\) pour un bon choix de base de \(F^\perp\cap F\) et \({F'}^\perp\cap F'\)