On note $(\mathcal{S})$ le cône de sommet $S$ et de directrice $(\mathcal{C})$ .

$\begin{align*}\ensuremath M(x,y,z)\in(\mathcal{S})\setminus\{S\}&\Leftrightarrow\exists\lambda\in\Rr^*/\;S+\lambda\overrightarrow{SM}\in(\mathcal{C})\Leftrightarrow\exists\lambda\in\Rr^*/\;(1+\lambda(x-1),-1+\lambda(y+1),\lambda z)\in(\mathcal{C})\\ &\Leftrightarrow \exists\lambda\in\Rr^*/\;\left\{ \begin{array}{l} -1+\lambda(y+1)+\lambda z=1\\ (1+\lambda(x-1))^2+(-1+\lambda(y+1))^2=\lambda z \end{array} \right.\\ &\Leftrightarrow\left(1+\frac{2}{y+z+1}(x-1)\right)^2+\left(-1+\frac{2}{y+z+1}(y+1)\right)^2=\frac{2}{y+z+1}z \\ &\Leftrightarrow (2x+y+z-1)^2 + (y-z+1)^2 = 2(y+z+1)z\;\text{et}\;y+z+1\neq0. \end{align*}$

En résumé, $M(x,y,z)$ est dans $(\mathcal{S})$ si et seulement si $M=S$ ou $M\neq S$ et $(2x+y+z-1)^2 + (y-z+1)^2 = 2(y+z+1)z\;\text{et}\;y+z+1\neq0$ .

Maintenant le point $S(1,-1,0)$ est dans le plan $(P)$ d’équation $y+z+1 = 0$ et la courbe $(\mathcal{C})$ n’a aucun point dans ce plan. Donc la surface $(\mathcal{S})$ contient un et un seul point de ce plan.

Notons alors $(\mathcal{S}')$ la surface d’équation $(2x+y+z-1)^2 + (y-z+1)^2 = 2(y+z+1)z$ et vérifions que l’intersection de $(\mathcal{S}')$ et de $(P)$ est $\{S\}$ . Ceci montrera que $(\mathcal{S}')=(\mathcal{S})$ .

$\begin{align*}\ensuremath M(x,y,z)\in(\mathcal{S})\cap(P)&\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} y+z+1=0\\ (2x+y+z-1)^2 + (y-z+1)^2 = 2(y+z+1)z \end{array} \right.\\ &\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} y+z+1=0\\ 2x+y+z-1=0\\ y-z+2=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} y=-1\\ z=0\\ x=1 \end{array} \right.\Leftrightarrow M=S \end{align*}$

Finalement $(\mathcal{S}')=(\mathcal{S})$ . Une équation de $(\mathcal{S})$ est donc $(2x+y+z-1)^2 + (y-z+1)^2 = 2(y+z+1)z$ ou encore $4x^2+2y^2+4xy+4xz-2yz-4x+2y-6z+2= 0$ . $(\mathcal{S})$ est donc un cône du second degré.

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