On note \((\mathcal{S})\) le cône de sommet \(S\) et de directrice \((\mathcal{C})\).

\[\begin{align*}\ensuremath M(x,y,z)\in(\mathcal{S})\setminus\{S\}&\Leftrightarrow\exists\lambda\in\Rr^*/\;S+\lambda\overrightarrow{SM}\in(\mathcal{C})\Leftrightarrow\exists\lambda\in\Rr^*/\;(1+\lambda(x-1),-1+\lambda(y+1),\lambda z)\in(\mathcal{C})\\ &\Leftrightarrow \exists\lambda\in\Rr^*/\;\left\{ \begin{array}{l} -1+\lambda(y+1)+\lambda z=1\\ (1+\lambda(x-1))^2+(-1+\lambda(y+1))^2=\lambda z \end{array} \right.\\ &\Leftrightarrow\left(1+\frac{2}{y+z+1}(x-1)\right)^2+\left(-1+\frac{2}{y+z+1}(y+1)\right)^2=\frac{2}{y+z+1}z \\ &\Leftrightarrow (2x+y+z-1)^2 + (y-z+1)^2 = 2(y+z+1)z\;\text{et}\;y+z+1\neq0. \end{align*}\]

En résumé, \(M(x,y,z)\) est dans \((\mathcal{S})\) si et seulement si \(M=S\) ou \(M\neq S\) et \((2x+y+z-1)^2 + (y-z+1)^2 = 2(y+z+1)z\;\text{et}\;y+z+1\neq0\).

Maintenant le point \(S(1,-1,0)\) est dans le plan \((P)\) d’équation \(y+z+1 = 0\) et la courbe \((\mathcal{C})\) n’a aucun point dans ce plan. Donc la surface \((\mathcal{S})\) contient un et un seul point de ce plan.

Notons alors \((\mathcal{S}')\) la surface d’équation \((2x+y+z-1)^2 + (y-z+1)^2 = 2(y+z+1)z\) et vérifions que l’intersection de \((\mathcal{S}')\) et de \((P)\) est \(\{S\}\). Ceci montrera que \((\mathcal{S}')=(\mathcal{S})\).

\[\begin{align*}\ensuremath M(x,y,z)\in(\mathcal{S})\cap(P)&\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} y+z+1=0\\ (2x+y+z-1)^2 + (y-z+1)^2 = 2(y+z+1)z \end{array} \right.\\ &\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} y+z+1=0\\ 2x+y+z-1=0\\ y-z+2=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} y=-1\\ z=0\\ x=1 \end{array} \right.\Leftrightarrow M=S \end{align*}\]

Finalement \((\mathcal{S}')=(\mathcal{S})\). Une équation de \((\mathcal{S})\) est donc \((2x+y+z-1)^2 + (y-z+1)^2 = 2(y+z+1)z\) ou encore \(4x^2+2y^2+4xy+4xz-2yz-4x+2y-6z+2= 0\). \((\mathcal{S})\) est donc un cône du second degré.

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