1
Soient deux matrices \(B \in \mathcal{M}_{n,r}(\R)\) et \(C \in \mathcal{M}_{r,n}(\R)\) de même rang \(r\). Montrer que \(A = BC\) est de rang \(r\).
2
Réciproquement, soit \(A \in \mathcal{M}_n(\R)\) de rang \(r \ge 1\). Montrer qu’il existe des matrices \(B\) et \(C\) comme précédemment telles que \(A = BC\).
3
Déterminer explicitement une telle décomposition pour \(A = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 \cr 2 & 3 & 4 & 5 \cr 3 & 4 & 5 & 6 \cr 4 & 5 & 6 & a\cr\end{pmatrix}\), \(a \in \R\).
4
Supposons de plus \(A\) symétrique. Montrer que \(CB\) est aussi de rang \(r\).