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Pour $(a_{0},\dots,a_{n-1)}\in\R^{n}$, on note $A_{(a_{0}\dots a_{n})}$ la matrice $$A_{(a_{0}\dots a_{n-1})}= \left\vert \begin{matrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & a_{0} \\ 1 & 0 & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 1 & \ddots & 0 & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 & a_{n-2} \\ 0 & \cdots & 0 & 1 & a_{n-1}-\lambda \\ \end{matrix} \right\vert$$ et à $\lambda\in\R$, on associe $\Delta_{(a_{0}\dots a_{n-1})}(\lambda)=\det(A_{(a_{0},...,a_{n-1})}-\lambda\mathrm{id})$. Calculer $\Delta_{(a_{0}\dots a_{n-1})}(\lambda)$ en fonction de $\Delta_{(a_{1}\dots a_{n-1})}(\lambda)$ et $a_{0}$. En déduire $\Delta_{(a_{0}\dots a_{n-1})}(\lambda)$.