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Pour \((a_{0},\dots,a_{n-1)}\in\R^{n}\), on note \(A_{(a_{0}\dots a_{n})}\) la matrice \[A_{(a_{0}\dots a_{n-1})}= \left\vert \begin{matrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & a_{0} \\ 1 & 0 & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 1 & \ddots & 0 & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 & a_{n-2} \\ 0 & \cdots & 0 & 1 & a_{n-1}-\lambda \\ \end{matrix} \right\vert\] et à \(\lambda\in\R\), on associe \(\Delta_{(a_{0}\dots a_{n-1})}(\lambda)=\det(A_{(a_{0},...,a_{n-1})}-\lambda\mathrm{id})\). Calculer \(\Delta_{(a_{0}\dots a_{n-1})}(\lambda)\) en fonction de \(\Delta_{(a_{1}\dots a_{n-1})}(\lambda)\) et \(a_{0}\). En déduire \(\Delta_{(a_{0}\dots a_{n-1})}(\lambda)\).