L1 Algèbre Polynôme, fraction rationnelle Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa BCPSTPrépa BCPST 5 questions

Factorisation d'un polynôme

Soient les polynômes P,Q∈R[X]P,Q \in \R[X] définis par P(X)=−6X3+4X2+X4+X3+3X+9P(X) = -6X^3 + 4X^2 + X^4 + X^3 + 3X + 9 et Q(X)=X2+X+1Q(X) = X^2 + X + 1.

1

Donner le degré des polynômes PP et QQ.

2

Montrer que 33 est une racine double de PP.

3

Déterminer l’ensemble des racines réelles de QQ puis l’ensemble des racines complexes de QQ. En déduire une factorisation de QQ en polynômes irréductibles dans C[X]\mathbb{C}[X].

4

Effectuer la division euclidienne de PP par QQ.

5

En déduire une factorisation de PP en polynômes irréductibles dans C[X]\mathbb{C}[X].

Exercice ZyzY

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