Soient les polynômes \(P,Q \in \R[X]\) définis par \(P(X) = -6X^3 + 4X^2 + X^4 + X^3 + 3X + 9\) et \(Q(X) = X^2 + X + 1\).
1
Donner le degré des polynômes \(P\) et \(Q\).
2
Montrer que \(3\) est une racine double de \(P\).
3
Déterminer l’ensemble des racines réelles de \(Q\) puis l’ensemble des racines complexes de \(Q\). En déduire une factorisation de \(Q\) en polynômes irréductibles dans \(\mathbb{C}[X]\).
4
Effectuer la division euclidienne de \(P\) par \(Q\).
5
En déduire une factorisation de \(P\) en polynômes irréductibles dans \(\mathbb{C}[X]\).