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On pose $P_0=1$ et pour $n$ entier naturel non nul, $P_n=\frac{1}{n!}\prod_{k=1}^{n}(X+k)$ (on peut définir la notation $P_n=C_{X+n}{n}$). Montrer que $\forall n\in\Nn,\;P_n\in E$.

Montrer que toute combinaison linéaire à coefficients entiers relatifs des $P_n$ est encore un élément de $E$.

Montrer que $E$ est l’ensemble des combinaisons linéaires à coefficients entiers relatifs des $P_n$.