Soit \(E\) la partie de \(\Cc[X]\) formée des polynômes \(P\) vérifiant \(\forall a\in\Zz,\;P(a)\in\Zz\).
1
On pose \(P_0=1\) et pour \(n\) entier naturel non nul, \(P_n=\frac{1}{n!}\prod_{k=1}^{n}(X+k)\) (on peut définir la notation \(P_n=C_{X+n}{n}\)). Montrer que \(\forall n\in\Nn,\;P_n\in E\).
2
Montrer que toute combinaison linéaire à coefficients entiers relatifs des \(P_n\) est encore un élément de \(E\).
3
Montrer que \(E\) est l’ensemble des combinaisons linéaires à coefficients entiers relatifs des \(P_n\).