Dans cet exercice, on admet que : \(\forall\ x \in \Q,\ x^2 \ne 2\).
1
Soient \(A = \{\ x \in \Z^{+*}\) tq \(x^2 < 2\ \}\) et \(B = \{\ x \in \Z^{+*}\) tq \(x^2 > 2\ \}\). Déterminer \(\sup(A)\) et \(\inf(B)\).
2
Soient \(A = \{\ x \in \Q^{+*}\) tq \(x^2 < 2\ \}\) et \(B = \{\ x \in \Q^{+*}\) tq \(x^2 > 2\ \}\). On veut démontrer que \(A\) n’admet pas de borne supérieure dans \(\Q\). Pour cela, on suppose au contraire que \(\alpha = \sup(A)\) existe (\(\alpha \in \Q\)), et on pose \(\beta = \frac 2\alpha\).
3
Montrer que \(\beta = \inf(B)\).
4
Montrer que : \(\forall\ a \in A,\ \forall\ b \in B,\) ona \(a \le b\). Que pouvez-vous en déduire pour \(\alpha\) et \(\beta\) ?
5
Obtenir une contradiction en considérant \(\gamma = \frac {\alpha + \beta}2\).