exo7 3050

Soient $A = \{\ x \in \Z^{+*}$ tq $x^2 < 2\ \}$ et $B = \{\ x \in \Z^{+*}$ tq $x^2 > 2\ \}$. Déterminer $\sup(A)$ et $\inf(B)$.

Soient $A = \{\ x \in \Q^{+*}$ tq $x^2 < 2\ \}$ et $B = \{\ x \in \Q^{+*}$ tq $x^2 > 2\ \}$. On veut démontrer que $A$ n’admet pas de borne supérieure dans $\Q$. Pour cela, on suppose au contraire que $\alpha = \sup(A)$ existe ($\alpha \in \Q$), et on pose $\beta = \frac 2\alpha$.

Montrer que $\beta = \inf(B)$.

Montrer que : $\forall\ a \in A,\ \forall\ b \in B,$ ona $a \le b$. Que pouvez-vous en déduire pour $\alpha$ et $\beta$ ?

Obtenir une contradiction en considérant $\gamma = \frac {\alpha + \beta}2$.